-10 Osciladores L C têm sido usados em circuitos ligados a alto-falantes para criar alguns dos sons da música eletrônica. Que indutância deve ser usada com um capacitor de 6,7 \mu \mathrm{~F} para produzir uma frequência de 10 kHz , que fica aproximadamente na metade da faixa de frequências audíveis?
  • 11 Um capacitor variável, de 10 a 365 pF , e um indutor formam um circuito L C de frequência variável usado para sintonizar um receptor de rádio. (a) Qual é a razão entre a maior frequência e a menor frequência natural que pode ser obtida usando este capacitor? Se o circuito deve ser usado para obter frequências entre 0,54 \mathrm{MHz} e 1,60 \mathrm{MHz}, a razão calculada no item (a) é grande demais. A faixa de frequências pode ser modificada ligando um capacitor em paralelo com o capacitor variável. (b) Qual deve ser o valor da capacitância adicional para que a faixa de frequências seja a faixa desejada? (c) Qual deve ser a indutância do indutor do circuito?

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (resumidos, pergunta por pergunta):
  • Exercício 10: pede a indutância necessária para um circuito LC que, com um capacitor de 6,7\\ \mu\mathrm{F}, produza frequência de 10\\ \mathrm{kHz}. Dados: capacitância C=6,7\\ \mu\mathrm{F} e frequência f=10\\ \mathrm{kHz}.
  • Exercício 11: um capacitor variável vai de 10\\ \mathrm{pF} até 365\\ \mathrm{pF} e forma um circuito LC.
    • (a) Pede a razão entre a maior e a menor frequência natural possível com esse capacitor (ou seja, f_{\max}/f_{\min}).
    • (b) Se queremos que o circuito tenha frequências entre 0,54\\ \mathrm{MHz} e 1,60\\ \mathrm{MHz}, pergunta qual capacitância fixa deve ser ligada em paralelo com o capacitor variável para ajustar a faixa.
    • (c) Depois disso, pergunta qual deve ser a indutância do indutor para obter essa faixa desejada.
      Dados do item (b)/(c): faixa desejada f_{\min}=0,54\\ \mathrm{MHz} e f_{\max}=1,60\\ \mathrm{MHz}; capacitor variável C_{\text{var}}\in[10\\ \mathrm{pF},\,365\\ \mathrm{pF}].

Passo 2

Fórmula básica do problema (aula rápida): ressonância do circuito LC e interpretação.
f=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}.
O que cada símbolo significa:
  • f é a frequência natural (em Hz).
  • L é a indutância (em henry, \mathrm{H}).
  • C é a capacitância (em farad, \mathrm{F}).
    Essa fórmula vem da solução da equação do circuito LC e diz que a frequência é inversamente proporcional à raiz quadrada do produto LC. Se isolarmos L para calcular a indutância necessária, fazemos álgebra simples:
f=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\quad\Longrightarrow\quad \sqrt{LC}=\frac{1}{2\pi f}\quad\Longrightarrow\quad LC=\frac{1}{(2\pi f)^2}\quad\Longrightarrow\quad L=\frac{1}{(2\pi f)^2 C}.
Aqui mostramos claramente como isolar L — isso vale para o exercício 10 e também quando precisarmos calcular L no exercício 11.

Passo 3

Resolvendo o Exercício 10 passo a passo (substituição e contas manuais).
Dados: C=6,7\\ \mu\mathrm{F}=6,7\times10^{-6}\\ \mathrm{F} e f=10\\ \mathrm{kHz}=1\times10^{4}\\ \mathrm{Hz}.
Usamos a fórmula isolada:
L=\frac{1}{(2\pi f)^2 C}.
Calcule 2\pi f:
2\pi f = 2\pi(1\times10^{4}) = 2\pi\times10^{4}.
Agora o quadrado:
(2\pi f)^2 = (2\pi)^2 \times (10^{4})^2 = (2\pi)^2 \times 10^{8}.
Sabendo (2\pi)^2\approx39,4784176, temos
(2\pi f)^2 \approx 39,4784176\times10^{8}=3,94784176\times10^{9}.
Multiplicamos pelo capacitor:
(2\pi f)^2 C \approx 3,94784176\times10^{9}\times 6,7\times10^{-6}.
Fazendo as contas (mostrando a ordem de grandeza e a multiplicação):
3,94784176\times10^{9}\times 6,7\times10^{-6}=(3,94784176\times6,7)\times10^{9-6}.
3,94784176\times6,7\approx26,4490348\quad\Rightarrow\quad (2\pi f)^2 C\approx26,4490348\times10^{3}=2,64490348\times10^{4}.
Finalmente
L=\frac{1}{2,6449\times10^{4}}\approx3,7805\times10^{-5}\\ \mathrm{H}.
Convém expressar em microhenry:
L\approx37,8\\ \mu\mathrm{H}.

Passo 4

Parte (a) do Exercício 11 — entender como a variação de C afeta f.
Para um L fixo, da fórmula da ressonância temos f\propto\frac{1}{\sqrt{C}}. Assim, a maior frequência ocorre quando a capacitância é menor ( C_{\min}=10\\ \mathrm{pF}) e a menor frequência ocorre quando a capacitância é maior ( C_{\max}=365\\ \mathrm{pF}). A razão pedida é
\frac{f_{\max}}{f_{\min}}=\frac{1/\sqrt{C_{\min}}}{1/\sqrt{C_{\max}}}=\sqrt{\frac{C_{\max}}{C_{\min}}}.
Substituindo números (usar pF direto porque é razão de capacitâncias; unidades cancelam):
\frac{f_{\max}}{f_{\min}}=\sqrt{\frac{365}{10}}=\sqrt{36,5}.
Calculando a raiz:
\sqrt{36,5}\approx6,04.
Portanto a razão entre a maior e a menor frequência com o capacitor variável sozinho é aproximadamente 6,04.

Passo 5

Parte (b): determinar a capacitância adicional em paralelo para ajustar a faixa pedida.
Explicação física curta: ligar um capacitor C_{\text{ad}} em paralelo com o capacitor variável faz com que a capacitância total seja
C_{\text{tot}}=C_{\text{var}}+C_{\text{ad}}.
Isso “desloca” a curva de C, reduzindo a variação relativa e, portanto, a razão f_{\max}/f_{\min}.
Queremos que
\frac{f_{\max}}{f_{\min}}=\frac{1,60\\ \mathrm{MHz}}{0,54\\ \mathrm{MHz}}=\frac{1,60}{0,54}.
Com C_{\text{var}} variando entre 10\\ \mathrm{pF} e 365\\ \mathrm{pF}, as capacitâncias totais mínima e máxima serão
C_{\min}'=10+C_{\text{ad}},\qquad C_{\max}'=365+C_{\text{ad}}.
A nova razão é
\frac{f_{\max}}{f_{\min}}=\sqrt{\frac{C_{\max}'}{C_{\min}'}}=\sqrt{\frac{365+C_{\text{ad}}}{10+C_{\text{ad}}}}.
Defina R=\dfrac{1,60}{0,54}. Igualamos:
\sqrt{\frac{365+x}{10+x}}=R,\quad\text{onde }x=C_{\text{ad}}.
Elevando ao quadrado:
\frac{365+x}{10+x}=R^{2}.
Isolando x:
365+x=R^{2}(10+x)\quad\Longrightarrow\quad 365+x=10R^{2}+xR^{2}.
x(1-R^{2})=10R^{2}-365\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{10R^{2}-365}{1-R^{2}}.
Agora calculamos numericamente. Primeiro R=\dfrac{1,60}{0,54}\approx2,96296296. Então
R^{2}\approx\frac{6400}{729}\approx8,779149.
Substituindo:
x=\frac{10\cdot8,779149-365}{1-8,779149}=\frac{87,79149-365}{-7,779149}=\frac{-277,20851}{-7,779149}\approx35,62\\ \mathrm{pF}.
Portanto a capacitância adicional necessária é aproximadamente 35,6\\ \mathrm{pF} (na prática escolheríamos um valor comercial próximo, por exemplo 36\\ \mathrm{pF}).

Passo 6

Parte (c): calcular a indutância do indutor para obter a faixa desejada (verificação dupla).
Agora que temos C_{\text{ad}}\approx35,62\\ \mathrm{pF}, as capacitâncias totais extremas são
C_{\min}'=10+35,62=45,62\\ \mathrm{pF}=45,62\times10^{-12}\\ \mathrm{F},
C_{\max}'=365+35,62=400,62\\ \mathrm{pF}=400,62\times10^{-12}\\ \mathrm{F}.
Usamos a fórmula para L aplicando-a, por exemplo, no extremo de maior frequência f_{\max}=1,60\\ \mathrm{MHz} que corresponde a C_{\min}':
L=\frac{1}{(2\pi f_{\max})^{2}C_{\min}'}.
Substituindo:
f_{\max}=1,60\times10^{6}\\ \mathrm{Hz},\qquad C_{\min}'=45,62\times10^{-12}\\ \mathrm{F}.
Calculemos passo a passo:
(2\pi f_{\max})^{2}=(2\pi)^{2}f_{\max}^{2}\approx39,4784176\times(1,60\times10^{6})^{2}.
(1,60\times10^{6})^{2}=2,56\times10^{12},
(2\pi f_{\max})^{2}\approx39,4784176\times2,56\times10^{12}\approx1,0106475\times10^{14}.
Multiplicando por C_{\min}':
(2\pi f_{\max})^{2}C_{\min}'\approx1,0106475\times10^{14}\times45,62\times10^{-12}\approx4,6136\times10^{3}.
Finalmente
L\approx\frac{1}{4,6136\times10^{3}}\approx2,1667\times10^{-4}\\ \mathrm{H}.
Em unidades mais amigáveis:
L\approx2,17\times10^{-4}\\ \mathrm{H}=217\\ \mu\mathrm{H}.
Podemos verificar usando f_{\min}=0,54\\ \mathrm{MHz} com C_{\max}'=400,62\\ \mathrm{pF} e obteremos numericamente o mesmo L (verificação feita nos cálculos, consistente).

Resposta

  1. L\approx3,78\times10^{-5}\\ \mathrm{H}=37,8\\ \mu\mathrm{H}\n11a) \dfrac{f_{\max}}{f_{\min}}\approx6,04\n11b) C_{\text{ad}}\approx35,6\\ \mathrm{pF}\n11c) L\approx2,17\times10^{-4}\\ \mathrm{H}=217\\ \mu\mathrm{H}

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