-10 Osciladores
têm sido usados em circuitos ligados a alto-falantes para criar alguns dos sons da música eletrônica. Que indutância deve ser usada com um capacitor de
para produzir uma frequência de 10 kHz , que fica aproximadamente na metade da faixa de frequências audíveis?
- 11 Um capacitor variável, de 10 a 365 pF , e um indutor formam um circuito
de frequência variável usado para sintonizar um receptor de rádio. (a) Qual é a razão entre a maior frequência e a menor frequência natural que pode ser obtida usando este capacitor? Se o circuito deve ser usado para obter frequências entre
e
, a razão calculada no item (a) é grande demais. A faixa de frequências pode ser modificada ligando um capacitor em paralelo com o capacitor variável. (b) Qual deve ser o valor da capacitância adicional para que a faixa de frequências seja a faixa desejada? (c) Qual deve ser a indutância do indutor do circuito?
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (resumidos, pergunta por pergunta):
-
Exercício 10: pede a indutância necessária para um circuito
que, com um capacitor de , produza frequência de . Dados: capacitância e frequência . -
Exercício 11: um capacitor variável vai de
até e forma um circuito . - (a) Pede a razão entre a maior e a menor frequência natural possível com esse capacitor (ou seja,
). - (b) Se queremos que o circuito tenha frequências entre
e , pergunta qual capacitância fixa deve ser ligada em paralelo com o capacitor variável para ajustar a faixa. - (c) Depois disso, pergunta qual deve ser a indutância do indutor para obter essa faixa desejada.
Dados do item (b)/(c): faixa desejadae ; capacitor variável .
- (a) Pede a razão entre a maior e a menor frequência natural possível com esse capacitor (ou seja,
Passo 2
Fórmula básica do problema (aula rápida): ressonância do circuito LC e interpretação.
O que cada símbolo significa:
-
é a frequência natural (em Hz). -
é a indutância (em henry, ). -
é a capacitância (em farad, ).
Essa fórmula vem da solução da equação do circuito LC e diz que a frequência é inversamente proporcional à raiz quadrada do produto. Se isolarmos para calcular a indutância necessária, fazemos álgebra simples:
Aqui mostramos claramente como isolar
— isso vale para o exercício 10 e também quando precisarmos calcular
no exercício 11.
Passo 3
Resolvendo o Exercício 10 passo a passo (substituição e contas manuais).
Dados: e
.
Usamos a fórmula isolada:
Dados:
Usamos a fórmula isolada:
Calcule
:
Agora o quadrado:
Sabendo
, temos
Multiplicamos pelo capacitor:
Fazendo as contas (mostrando a ordem de grandeza e a multiplicação):
Finalmente
Convém expressar em microhenry:
Passo 4
Parte (a) do Exercício 11 — entender como a variação de
afeta
.
Para um fixo, da fórmula da ressonância temos
. Assim, a maior frequência ocorre quando a capacitância é menor (
) e a menor frequência ocorre quando a capacitância é maior (
). A razão pedida é
Para um
Substituindo números (usar pF direto porque é razão de capacitâncias; unidades cancelam):
Calculando a raiz:
Portanto a razão entre a maior e a menor frequência com o capacitor variável sozinho é aproximadamente
.
Passo 5
Parte (b): determinar a capacitância adicional em paralelo para ajustar a faixa pedida.
Explicação física curta: ligar um capacitor em paralelo com o capacitor variável faz com que a capacitância total seja
Explicação física curta: ligar um capacitor
Isso “desloca” a curva de
, reduzindo a variação relativa e, portanto, a razão
.
Queremos que
Com
variando entre
e
, as capacitâncias totais mínima e máxima serão
A nova razão é
Defina
. Igualamos:
Elevando ao quadrado:
Isolando
:
Agora calculamos numericamente. Primeiro
. Então
Substituindo:
Portanto a capacitância adicional necessária é aproximadamente
(na prática escolheríamos um valor comercial próximo, por exemplo
).
Passo 6
Parte (c): calcular a indutância do indutor para obter a faixa desejada (verificação dupla).
Agora que temos , as capacitâncias totais extremas são
Agora que temos
Usamos a fórmula para
aplicando-a, por exemplo, no extremo de maior frequência
que corresponde a
:
Substituindo:
Calculemos passo a passo:
Multiplicando por
:
Finalmente
Em unidades mais amigáveis:
Podemos verificar usando
com
e obteremos numericamente o mesmo
(verificação feita nos cálculos, consistente).
Resposta
-
\n11a) \n11b) \n11c)