- 11 Um capacitor variável, de 10 a 365 pF , e um indutor formam um circuito
de frequência variável usado para sintonizar um receptor de rádio. (a) Qual é a razão entre a maior frequência e a menor frequência natural que pode ser obtida usando este capacitor? Se o circuito deve ser usado para obter frequências entre
e
, a razão calculada no item (a) é grande demais. A faixa de frequências pode ser modificada ligando um capacitor em paralelo com o capacitor variável. (b) Qual deve ser o valor da capacitância adicional para que a faixa de frequências seja a faixa desejada? (c) Qual deve ser a indutância do indutor do circuito?
- 12 Em um circuito
oscilante, quando uma energia igual a
da energia total está armazenada no campo magnético do indutor, determine (a) a fração da carga máxima que está armazenada no capacitor e (b) a fração da corrente máxima que está atravessando o indutor.
Passo 1
Enunciado e dados relevantes (vou separar claramente as duas questões para não confundir):
Questão 11:
- Temos um capacitor variável que pode assumir capacitâncias entre
e . - Com esse capacitor e um indutor monta-se um circuito
com frequência de ressonância variável. - Perguntas:
(a) Qual é a razão entre a maior frequência natural e a menor frequência natural que podem ser obtidas usando só esse capacitor variável?
(b) Se quisermos que o circuito possa sintonizar a faixa de frequências entree , devemos ligar um capacitor fixo em paralelo com o capacitor variável. Qual deve ser o valor dessa capacitância adicional?
(c) Qual deve ser a indutância do indutor para que, com essa capacitância adicional, o circuito atinja exatamente a faixa desejada?
Questão 12:
- Em um circuito
oscilante, sabemos que em determinado instante uma energia igual a da energia total está armazenada no campo magnético do indutor. - Perguntas:
(a) Qual a fração da carga máxima que está no capacitor nesse instante?
(b) Qual a fração da corrente máxima que está atravessando o indutor nesse instante?
Nada mais será assumido. Agora vou resolver passo a passo, explicando a teoria necessária na medida certa.
Passo 2
Conceito básico de ressonância em circuito
(mini-aula): a frequência natural de um circuito ideal
é dada por
Aqui
é a frequência em hertz,
é a indutância em henry e
é a capacitância em farad. Observe que
depende de
como
(mantendo
fixo): se
diminui,
aumenta; se
aumenta,
diminui. Isso é útil para comparar extremos de frequência quando só
varia.
Passo 3
Resolução do item (a) da Questão 11 — razão entre maior e menor frequência com o capacitor variável:
- O menor valor de capacitância é
e o maior é . - Denotando
a maior frequência (quando ) e a menor frequência (quando ), usando obtemos
- Agora substituímos os valores:
Portanto a razão pedida é aproximadamente
.
Passo 4
Conceito de capacitores em paralelo (mini-aula): capacitores ligados em paralelo se somam diretamente. Se um capacitor variável
está em paralelo com um capacitor fixo
, a capacitância total é
Isso é útil para “deslocar” a faixa efetiva de capacitâncias que o circuito pode assumir (e assim ajustar a faixa de frequências).
Passo 5
Resolução do item (b) da Questão 11 — encontrar
para obter a faixa
a
:
- Denote
(capacitância mínima do variável) e (máxima). - Colocando um capacitor
em paralelo, as capacitâncias totais nos extremos serão
- Queremos que as frequências correspondentes satisfaçam
(quando ) e (quando ). Como , a razão de frequências fixa impõe
- Definimos
. Assim
- Resolvendo essa equação para
:
logo
- Calculamos
:
- Substituindo
e :
- Portanto o capacitor adicional deve ter aproximadamente
.
Passo 6
Resolução do item (c) da Questão 11 — encontrar
para a faixa desejada (usar o
encontrado):
- Depois de adicionar
, as capacitâncias totais nos extremos são
- A relação de ressonância dá, por exemplo para a frequência máxima:
- Substituindo
e :
- Fazendo as contas (vou mostrar os passos numéricos):
-
. -
. - Multiplicando por
: . - Logo
.
-
- Em unidades mais convenientes:
(aprox.). - Checando com
e dá praticamente o mesmo valor de , como deve ocorrer (consistência conferida).
Passo 7
Agora a Questão 12 — princípios energéticos (mini-aula): num circuito
ideal a energia total
é constante e oscila entre o capacitor e o indutor. As expressões de energia são
onde
é a carga instantânea no capacitor e
é a corrente instantânea no indutor. A energia total em qualquer instante é
Quando todo o sistema está com energia no capacitor máximo,
; quando está toda no indutor,
. Esses valores permitem relacionar
e
à energia total.
Passo 8
Resolução do item (a) da Questão 12 — fração da carga máxima no capacitor quando
:
- Dado:
. Então a energia no capacitor é . - Usando
e , igualamos:
- Cancelando o fator comum
obtemos , portanto
- Assim a fração da carga máxima armazenada no capacitor (em valor absoluto) é
, ou seja .
Passo 9
Resolução do item (b) da Questão 12 — fração da corrente máxima no indutor:
- Como dado,
. Mas , então
- Cancelando
obtemos . Assim
- Portanto a corrente é aproximadamente
da corrente máxima.
Resposta
11(a)
11(b)
11(c)
12(a)
12(b)
11(b)
11(c)
12(a)
12(b)