• 11 Um capacitor variável, de 10 a 365 pF , e um indutor formam um circuito L C de frequência variável usado para sintonizar um receptor de rádio. (a) Qual é a razão entre a maior frequência e a menor frequência natural que pode ser obtida usando este capacitor? Se o circuito deve ser usado para obter frequências entre 0,54 \mathrm{MHz} e 1,60 \mathrm{MHz}, a razão calculada no item (a) é grande demais. A faixa de frequências pode ser modificada ligando um capacitor em paralelo com o capacitor variável. (b) Qual deve ser o valor da capacitância adicional para que a faixa de frequências seja a faixa desejada? (c) Qual deve ser a indutância do indutor do circuito?
  • 12 Em um circuito L C oscilante, quando uma energia igual a 75 \% da energia total está armazenada no campo magnético do indutor, determine (a) a fração da carga máxima que está armazenada no capacitor e (b) a fração da corrente máxima que está atravessando o indutor.

Passo 1

Enunciado e dados relevantes (vou separar claramente as duas questões para não confundir):
Questão 11:
  • Temos um capacitor variável que pode assumir capacitâncias entre \,10\\ \text{pF} e \,365\\ \text{pF}.
  • Com esse capacitor e um indutor monta-se um circuito LC com frequência de ressonância variável.
  • Perguntas:
    (a) Qual é a razão entre a maior frequência natural e a menor frequência natural que podem ser obtidas usando só esse capacitor variável?
    (b) Se quisermos que o circuito possa sintonizar a faixa de frequências entre \,0,54\\ \text{MHz} e \,1,60\\ \text{MHz}, devemos ligar um capacitor fixo em paralelo com o capacitor variável. Qual deve ser o valor dessa capacitância adicional?
    (c) Qual deve ser a indutância do indutor para que, com essa capacitância adicional, o circuito atinja exatamente a faixa desejada?
Questão 12:
  • Em um circuito LC oscilante, sabemos que em determinado instante uma energia igual a 75\% da energia total está armazenada no campo magnético do indutor.
  • Perguntas:
    (a) Qual a fração da carga máxima que está no capacitor nesse instante?
    (b) Qual a fração da corrente máxima que está atravessando o indutor nesse instante?
Nada mais será assumido. Agora vou resolver passo a passo, explicando a teoria necessária na medida certa.

Passo 2

Conceito básico de ressonância em circuito LC (mini-aula): a frequência natural de um circuito ideal LC é dada por
f=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}.
Aqui f é a frequência em hertz, L é a indutância em henry e C é a capacitância em farad. Observe que f depende de C como f\propto 1/\sqrt{C} (mantendo L fixo): se C diminui, f aumenta; se C aumenta, f diminui. Isso é útil para comparar extremos de frequência quando só C varia.

Passo 3

Resolução do item (a) da Questão 11 — razão entre maior e menor frequência com o capacitor variável:
  • O menor valor de capacitância é \,C_\text{min}=10\\ \text{pF} e o maior é \,C_\text{max}=365\\ \text{pF}.
  • Denotando f_\text{max} a maior frequência (quando C=C_\text{min}) e f_\text{min} a menor frequência (quando C=C_\text{max}), usando f\propto 1/\sqrt{C} obtemos
\frac{f_\text{max}}{f_\text{min}}=\sqrt{\frac{C_\text{max}}{C_\text{min}}}.
  • Agora substituímos os valores:
\frac{f_\text{max}}{f_\text{min}}=\sqrt{\frac{365}{10}}=\sqrt{36{,}5}\approx 6{,}0415.
Portanto a razão pedida é aproximadamente 6{,}04.

Passo 4

Conceito de capacitores em paralelo (mini-aula): capacitores ligados em paralelo se somam diretamente. Se um capacitor variável C_v está em paralelo com um capacitor fixo C_p, a capacitância total é
C_\text{tot}=C_v+C_p.
Isso é útil para “deslocar” a faixa efetiva de capacitâncias que o circuito pode assumir (e assim ajustar a faixa de frequências).

Passo 5

Resolução do item (b) da Questão 11 — encontrar C_p para obter a faixa \,0{,}54\\ \text{MHz} a \,1{,}60\\ \text{MHz}:
  • Denote C_1=10\\ \text{pF} (capacitância mínima do variável) e C_2=365\\ \text{pF} (máxima).
  • Colocando um capacitor C_p em paralelo, as capacitâncias totais nos extremos serão
C_\text{tot,min}=C_1+C_p,\qquad C_\text{tot,max}=C_2+C_p.
  • Queremos que as frequências correspondentes satisfaçam f_\text{max}=1{,}60\\ \text{MHz} (quando C=C_\text{tot,min}) e f_\text{min}=0{,}54\\ \text{MHz} (quando C=C_\text{tot,max}). Como f\propto 1/\sqrt{C}, a razão de frequências fixa impõe
\frac{f_\text{max}}{f_\text{min}}=\sqrt{\frac{C_\text{tot,max}}{C_\text{tot,min}}}.
  • Definimos k=\left(\dfrac{1{,}60}{0{,}54}\right)^2. Assim
\frac{C_2+C_p}{C_1+C_p}=k.
  • Resolvendo essa equação para C_p:
C_2+C_p = k(C_1+C_p)\quad\Rightarrow\quad C_p(1-k)=kC_1-C_2,
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C_p=\frac{kC_1-C_2}{1-k}.
  • Calculamos k:
k=\left(\frac{1{,}60}{0{,}54}\right)^2=\left(2{,}962962963\ldots\right)^2\approx 8{,}7789.
  • Substituindo C_1=10\\ \text{pF} e C_2=365\\ \text{pF}:
C_p=\frac{8{,}7789\cdot 10 - 365}{1-8{,}7789}=\frac{87{,}789-365}{-7{,}7789}=\frac{-277{,}211}{-7{,}7789}\approx 35{,}62\\ \text{pF}.
  • Portanto o capacitor adicional deve ter aproximadamente \,35{,}6\\ \text{pF}.

Passo 6

Resolução do item (c) da Questão 11 — encontrar L para a faixa desejada (usar o C_p encontrado):
  • Depois de adicionar C_p\approx 35{,}62\\ \text{pF}, as capacitâncias totais nos extremos são
C_\text{tot,min}=C_1+C_p\approx 10+35{,}62=45{,}62\\ \text{pF},
C_\text{tot,max}=C_2+C_p\approx 365+35{,}62=400{,}62\\ \text{pF}.
  • A relação de ressonância dá, por exemplo para a frequência máxima:
f_\text{max}=\frac{1}{2\pi\sqrt{L\,C_\text{tot,min}}}\quad\Rightarrow\quad L=\frac{1}{(2\pi f_\text{max})^2\,C_\text{tot,min}}.
  • Substituindo f_\text{max}=1{,}60\\ \text{MHz}=1{,}60\times 10^{6}\\ \text{Hz} e C_\text{tot,min}=45{,}62\\ \text{pF}=45{,}62\times 10^{-12}\\ \text{F}:
L=\frac{1}{(2\pi\cdot 1{,}60\times 10^{6})^2\cdot 45{,}62\times 10^{-12}}.
  • Fazendo as contas (vou mostrar os passos numéricos):
    • 2\pi\cdot 1{,}60\times 10^{6}\approx 2\pi\cdot 1{,}6\times 10^{6}\approx 1{,}00530965\times 10^{7}.
    • (2\pi f_\text{max})^2\approx (1{,}00530965\times 10^{7})^2 \approx 1{,}01065\times 10^{14}.
    • Multiplicando por C_\text{tot,min}: 1{,}01065\times 10^{14}\cdot 45{,}62\times 10^{-12}\approx 4{,}616\times 10^{3}.
    • Logo L\approx 1/4{,}616\approx 2{,}166\times 10^{-4}\\ \text{H}.
  • Em unidades mais convenientes: L\approx 2{,}17\times 10^{-4}\\ \text{H} = 217\\ \mu\text{H} (aprox.).
  • Checando com f_\text{min}=0{,}54\\ \text{MHz} e C_\text{tot,max}=400{,}62\\ \text{pF} dá praticamente o mesmo valor de L, como deve ocorrer (consistência conferida).

Passo 7

Agora a Questão 12 — princípios energéticos (mini-aula): num circuito LC ideal a energia total E é constante e oscila entre o capacitor e o indutor. As expressões de energia são
U_C=\frac{q^2}{2C}\quad\text{(energia elétrica no capacitor)},é
U_L=\frac{1}{2}Li^2\quad\text{(energia magnética no indutor)},é
onde q é a carga instantânea no capacitor e i é a corrente instantânea no indutor. A energia total em qualquer instante é
E=U_C+U_L.
Quando todo o sistema está com energia no capacitor máximo, E=\dfrac{q_\text{max}^2}{2C}; quando está toda no indutor, E=\dfrac{1}{2}L i_\text{max}^2. Esses valores permitem relacionar q_\text{max} e i_\text{max} à energia total.

Passo 8

Resolução do item (a) da Questão 12 — fração da carga máxima no capacitor quando U_L=75\%\\ E:
  • Dado: U_L=\dfrac{1}{2}Li^2 = 0{,}75\,E. Então a energia no capacitor é U_C=E-U_L=0{,}25\,E.
  • Usando U_C=\dfrac{q^2}{2C} e E=\dfrac{q_\text{max}^2}{2C}, igualamos:
\frac{q^2}{2C}=0{,}25\cdot\frac{q_\text{max}^2}{2C}.
  • Cancelando o fator comum \dfrac{1}{2C} obtemos q^2=0{,}25\,q_\text{max}^2, portanto
|q|=\sqrt{0{,}25}\,q_\text{max}=\frac{1}{2}q_\text{max}.
  • Assim a fração da carga máxima armazenada no capacitor (em valor absoluto) é \dfrac{1}{2}=0{,}50, ou seja 50\%.

Passo 9

Resolução do item (b) da Questão 12 — fração da corrente máxima no indutor:
  • Como dado, U_L=\dfrac{1}{2}Li^2=0{,}75\,E. Mas E=\dfrac{1}{2}L i_\text{max}^2, então
\frac{1}{2}Li^2=0{,}75\cdot\frac{1}{2}L i_\text{max}^2.
  • Cancelando \dfrac{1}{2}L obtemos i^2=0{,}75\,i_\text{max}^2. Assim
\frac{i}{i_\text{max}}=\sqrt{0{,}75}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}8660.
  • Portanto a corrente é aproximadamente 86{,}6\% da corrente máxima.

Resposta

11(a) \displaystyle \frac{f_\text{max}}{f_\text{min}}=\sqrt{\frac{365}{10}}\approx 6{,}0415.
11(b) \displaystyle C_p\approx 35{,}6\\ \text{pF}.
11(c) \displaystyle L\approx 2{,}17\times 10^{-4}\\ \text{H}=217\\ \mu\text{H}.
12(a) \displaystyle \frac{|q|}{q_\text{max}}=\frac{1}{2}=0{,}50.
12(b) \displaystyle \frac{i}{i_\text{max}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}8660.

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