Um sistema com 1 GDL possui
,
, e está submetido uma excitação harmônica de amplitude 20 N . Determine a amplitude do movimento em regime permanente e o ângulo de fase quando a frequência da excitação (frequência da força externa) for igual a:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a amplitude do movimento em regime permanente e o ângulo de fase quando a frequência da excitação é
. Dados fornecidos:
,
,
, amplitude da força
e frequência da força
.
Ou seja, precisamos encontrar a amplitude da resposta forçada em regime permanente e o ângulo de fase
entre a força e o deslocamento.
Ou seja, precisamos encontrar a amplitude
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula básica para um sistema massa-mola-amortecedor forçado por uma força harmônica
. Em regime permanente a resposta tem a forma
, onde a amplitude
e o ângulo de fase
são dados por:
Vou explicar cada termo:
-
é a massa (kg). -
é o coeficiente de amortecimento (N·s/m). -
é a rigidez da mola (N/m). -
é a frequência da força externa (rad/s). -
é a parte real do denominador complexo da função de transferência (próxima a uma “rigidez efetiva”). -
é a parte imaginária (relacionada ao amortecimento). - A função
escolhe o quadrante correto para o ângulo considerando sinais de e . Comumente escrevemos mas é importante usar quando pode ser negativo, para obter o ângulo no quadrante certo.
Passo 3
Calculemos primeiro a frequência natural não amortecida
e a razão de amortecimento
só para termos noção do regime (isso ajuda a interpretar o resultado mais à frente):
A razão adimensional de amortecimento é
Comentário rápido:
indica amortecimento pequeno, mas não desprezível.
Passo 4
Agora calculemos os termos do denominador para
. Primeiro
Calcule
. Portanto
Logo
E
Passo 5
Agora calculamos a amplitude usando a fórmula do Passo 2:
Calcule os quadrados:
Soma:
Raiz:
Portanto
Em unidades mais familiares, isso é aproximadamente
.
Passo 6
Agora o ângulo de fase. Usamos a convenção
e a expressão com
:
Como o primeiro argumento é positivo e o segundo é negativo, o ângulo está no segundo quadrante (entre
e
). Podemos calcular como
Calcule a razão:
Portanto
Convertendo para graus:
Interpretação:
significa que o deslocamento está praticamente em oposição (quase
) à força, ou seja, o deslocamento atrasa a força por esse ângulo — típico quando
é maior que
(região acima da ressonância).