Um sistema com 1 GDL possui \mathrm{m}=4 \mathrm{~kg}, \mathrm{c}=35 \mathrm{Ns} / \mathrm{m}, \mathrm{k}=\boldsymbol{8} \times 10^{3} \mathrm{~N} / \mathrm{m}, e está submetido uma excitação harmônica de amplitude 20 N . Determine a amplitude do movimento em regime permanente e o ângulo de fase quando a frequência da excitação (frequência da força externa) for igual a:
80,50 \mathrm{rad} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a amplitude do movimento em regime permanente e o ângulo de fase quando a frequência da excitação é \omega=80{,}50\\ \mathrm{rad/s}. Dados fornecidos:
m=4\\ \mathrm{kg}, c=35\\ \mathrm{N\,s/m}, k=8\times10^{3}\\ \mathrm{N/m}, amplitude da força F_{0}=20\\ \mathrm{N} e frequência da força \omega=80{,}50\\ \mathrm{rad/s}.
Ou seja, precisamos encontrar a amplitude X da resposta forçada em regime permanente e o ângulo de fase \varphi entre a força e o deslocamento.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula básica para um sistema massa-mola-amortecedor forçado por uma força harmônica F(t)=F_{0}\cos(\omega t). Em regime permanente a resposta tem a forma x(t)=X\cos(\omega t-\varphi), onde a amplitude X e o ângulo de fase \varphi são dados por:
X=\frac{F_{0}}{\sqrt{(k-m\omega^{2})^{2}+(c\omega)^{2}}}
\varphi=\operatorname{atan2}(c\omega,\;k-m\omega^{2})
Vou explicar cada termo:
  • m é a massa (kg).
  • c é o coeficiente de amortecimento (N·s/m).
  • k é a rigidez da mola (N/m).
  • \omega é a frequência da força externa (rad/s).
  • k-m\omega^{2} é a parte real do denominador complexo da função de transferência (próxima a uma “rigidez efetiva”).
  • c\omega é a parte imaginária (relacionada ao amortecimento).
  • A função \operatorname{atan2}(y,x) escolhe o quadrante correto para o ângulo considerando sinais de x e y. Comumente escrevemos \varphi=\arctan\!\big(\dfrac{c\omega}{k-m\omega^{2}}\big) mas é importante usar \operatorname{atan2} quando k-m\omega^{2} pode ser negativo, para obter o ângulo no quadrante certo.

Passo 3

Calculemos primeiro a frequência natural não amortecida \omega_{n} e a razão de amortecimento \zeta só para termos noção do regime (isso ajuda a interpretar o resultado mais à frente):
\omega_{n}=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{8\times10^{3}}{4}}=\sqrt{2000}\approx 44{,}72136\\ \mathrm{rad/s}.
A razão adimensional de amortecimento é
\zeta=\frac{c}{2m\omega_{n}}=\frac{35}{2\cdot4\cdot 44{,}72136}\approx 0{,}0978.
Comentário rápido: \zeta\approx0{,}098 indica amortecimento pequeno, mas não desprezível.

Passo 4

Agora calculemos os termos do denominador para \omega=80{,}50\\ \mathrm{rad/s}. Primeiro
m\omega^{2}=4\cdot(80{,}50)^{2}.
Calcule (80{,}50)^{2} = 6480{,}25. Portanto
m\omega^{2}=4\cdot 6480{,}25 = 25921{,}00.
Logo
k-m\omega^{2}=8000-25921{,}00 = -17921{,}00.
E
c\omega = 35\cdot 80{,}50 = 2817{,}5.

Passo 5

Agora calculamos a amplitude usando a fórmula do Passo 2:
X=\frac{F_{0}}{\sqrt{(k-m\omega^{2})^{2}+(c\omega)^{2}}} =\frac{20}{\sqrt{(-17921{,}00)^{2}+(2817{,}5)^{2}}}.
Calcule os quadrados:
(-17921{,}00)^{2}=321\,162\,241{,}00,
(2817{,}5)^{2}=7\,938\,306{,}25.
Soma:
321\,162\,241{,}00+7\,938\,306{,}25=329\,100\,547{,}25.
Raiz:
\sqrt{329\,100\,547{,}25}\approx 18141{,}13.
Portanto
X\approx\frac{20}{18141{,}13}\approx 0{,}0011023\\ \mathrm{m}.
Em unidades mais familiares, isso é aproximadamente 1{,}1023\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Agora o ângulo de fase. Usamos a convenção x(t)=X\cos(\omega t-\varphi) e a expressão com \operatorname{atan2}:
\varphi=\operatorname{atan2}(c\omega,\;k-m\omega^{2})=\operatorname{atan2}(2817{,}5,\;-17921{,}0).
Como o primeiro argumento é positivo e o segundo é negativo, o ângulo está no segundo quadrante (entre \pi/2 e \pi). Podemos calcular como
\varphi=\pi-\arctan\!\bigg(\frac{2817{,}5}{17921{,}0}\bigg).
Calcule a razão:
\frac{2817{,}5}{17921{,}0}\approx 0{,}157292.
\arctan(0{,}157292)\approx 0{,}1561\\ \mathrm{rad}\\ (\approx 8{,}942^{\circ}).
Portanto
\varphi\approx \pi-0{,}1561 \approx 2{,}9855\\ \mathrm{rad}.
Convertendo para graus:
\varphi\approx 2{,}9855\cdot\frac{180}{\pi}\approx 171{,}06^{\circ}.
Interpretação: \varphi\approx 171{,}1^{\circ} significa que o deslocamento está praticamente em oposição (quase 180^\circ) à força, ou seja, o deslocamento atrasa a força por esse ângulo — típico quando \omega é maior que \omega_{n} (região acima da ressonância).

Resposta

X\approx 0{,}0011023\\ \mathrm{m} (aprox. 1{,}1023\\ \mathrm{mm})
\varphi\approx 2{,}9855\\ \mathrm{rad} (aprox. 171{,}06^{\circ})

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