[10 pontos] De acordo com um relatório da Agência de Proteção Ambiental dos Estados Unidos, queimar um galão de gasolina emite aproximadamente 8,9 \mathrm{~kg} de gás carbônico. Uma empresa quer testar um novo tipo de gasolina que foi projetado para ter níveis de emissões gás carbônico menor. Seja \mu a quantidade média de gás carbônico emitido na queima de um galão da nova gasolina, sob qual das seguintes condições a empresa cometeria um ERRO do TIPO I?
(a) A quantidade média de gás carbônico emitido pelo novo combustível na verdade é de 8,9 \mathrm{~kg}, e eles não concluem que ela é menor que 8,9
(b) A quantidade média de gás carbônico emitido pelo novo combustível é, na verdade, menor que 8,9 kg , e eles concluem que ela é menor que 8,9
(c) A quantidade média de gás carbônico emitido pelo novo combustível na verdade é de 8,9 \mathrm{~kg}, e eles concluem que ela é menor que 8,9 \mathrm{~kg}
(d) A quantidade média de gás carbônico emitido pelo novo combustível é, na verdade, menor que 8,9 kg, e eles não concluem que ela é menor que 8,9 \mathrm{~kg}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações relevantes:
  • Um relatório diz que queimar um galão de gasolina emite aproximadamente \,8,9\\ \mathrm{kg}\, de \mathrm{CO}_2.
  • A empresa testa uma nova gasolina cuja média de emissão por galão é denotada por \mu.
  • A empresa quer saber se a nova gasolina tem emissões menores que \,8,9\\ \mathrm{kg}\,.
O enunciado pergunta: sob qual das quatro alternativas abaixo a empresa cometeria um ERRO do TIPO I?
(a) A quantidade média de gás carbônico emitido pelo novo combustível na verdade é de \,8,9\\ \mathrm{kg}, e eles não concluem que ela é menor que \,8,9.
(b) A quantidade média de gás carbônico emitido pelo novo combustível é, na verdade, menor que \,8,9\\ \mathrm{kg}, e eles concluem que ela é menor que \,8,9.
(c) A quantidade média de gás carbônico emitido pelo novo combustível na verdade é de \,8,9\\ \mathrm{kg}, e eles concluem que ela é menor que \,8,9\\ \mathrm{kg}.
(d) A quantidade média de gás carbônico emitido pelo novo combustível é, na verdade, menor que \,8,9\\ \mathrm{kg}, e eles não concluem que ela é menor que \,8,9\\ \mathrm{kg}.

Passo 2

Definindo formalmente as hipóteses e os erros (para aprender a identificar o tipo de erro na prova):
  • A hipótese nula deve representar a situação de “sem melhoria” (o caso padrão que só será rejeitado se houver evidência forte). Podemos escrever a hipótese nula e a alternativa assim:
H_0:\\ \mu = 8,9\quad\text{(ou, mais conservadoramente, }\mu\ge 8,9\text{)}
H_1:\\ \mu < 8,9
Aqui \mu é a média verdadeira de \mathrm{CO}_2 emitido por galão com a nova gasolina.
  • Definições importantes:
    • Erro do Tipo I (falso positivo): rejeitar H_0 quando H_0 é verdadeira. Em palavras: concluir que a gasolina reduz emissões quando na verdade não reduz.
    • Erro do Tipo II (falso negativo): não rejeitar H_0 quando H_1 é verdadeira. Em palavras: não concluir que a gasolina reduz emissões quando ela realmente reduz.
Essas definições são cruciais: Type I = rejeitar erroneamente o que é verdade; Type II = não rejeitar quando a alternativa é verdadeira.

Passo 3

Agora interpreto cada alternativa em termos de decisão do teste (rejeita ou não rejeita H_0) e do valor verdadeiro de \mu:
  • (a) Afirma que \mu=8,9 (ou seja, H_0 é verdadeira) e que eles NÃO concluem que \mu<8,9 (ou seja, não rejeitam H_0). Isso é uma decisão correta (não cometer erro): não é erro tipo I nem tipo II.
  • (b) Afirma que \mu<8,9 (ou seja, H_1 é verdadeira) e que eles concluem que \mu<8,9 (ou seja, rejeitam H_0). Isso é também uma decisão correta (poder do teste), não é erro tipo I.
  • (c) Afirma que \mu=8,9 (ou seja, H_0 é verdadeira) e que eles concluem que \mu<8,9 (ou seja, rejeitam H_0). Isso corresponde exatamente a rejeitar H_0 quando H_0 é verdadeira — definição de ERRO DO TIPO I.
  • (d) Afirma que \mu<8,9 (ou seja, H_1 é verdadeira) e que eles NÃO concluem que \mu<8,9 (ou seja, não rejeitam H_0). Isso é uma falha em detectar a melhoria — definição de ERRO DO TIPO II.

Passo 4

Concluindo a partir das correspondências acima: a alternativa que descreve um ERRO do TIPO I é a alternativa (c), pois é o caso em que H_0 é verdadeira ( \mu=8,9) e ainda assim se rejeita H_0 concluindo que \mu<8,9.

Resposta

(c)

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