[10 pontos] Um fabricante de cabos náuticos afirma que a carga de ruptura média de seu produto é de pelo menos 90 Kg . Um potencial consumidor, interessado na compra de grande quantidade do produto, decide fazer ensaios de carga em 20 unidades, obtendo uma média amostral de 88,4 \mathrm{Kg}. Considerando \mu a média populacional de carga de ruptura media, assinale o teste de hipóteses correto a ser realizado pelo comprador? (OBS: H_{a}=H_{1} )
(a) Teste bilateral com H_{a}: \mu \neq 90 \mathrm{~kg}.
(b) Teste unilateral com H_{a}: \mu<90 \mathrm{~kg}.
(c) Teste unilateral com H_{a}: \mu \leq 90 \mathrm{~kg}.
(d) Teste unilateral com H_{a}: \mu>90 \mathrm{~kg}.
(e) Teste unilateral com H_{a}: \mu \geq 90 \mathrm{~kg}.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede que se escolha o teste de hipóteses correto (sabendo que H_{a}=H_{1}):
  • Reivindicação do fabricante: a carga de ruptura média é de pelo menos 90\\ \mathrm{Kg}.
  • Amostra do comprador: n=20 unidades, média amostral \bar{x}=88,4\\ \mathrm{Kg}.
  • Variável de interesse: \mu = média populacional da carga de ruptura.
  • Pergunta: qual é o teste de hipóteses apropriado entre as alternativas (a)–(e).

Passo 2

Entendendo o papel de H_0 e H_a:
  • H_0 (hipótese nula) é a hipótese que normalmente contém a igualdade e representa a situação que vamos considerar verdadeira a menos que haja evidência forte contra ela.
  • H_a (hipótese alternativa) é a hipótese que expressa a afirmação que se quer demonstrar com a amostra — ou seja, aquilo que se procura evidenciar.
    No enunciado o fabricante afirma "pelo menos 90\\ \mathrm{Kg}". O comprador suspeita que a média é menor do que isso. Portanto a hipótese alternativa deve expressar a possibilidade de que a média é menor que 90\\ \mathrm{Kg}, isto é \mu<90.

Passo 3

Formulação matemática coerente com o cenário:
  • Como H_a deve ser \mu<90, uma escolha natural (e usual) para o par de hipóteses é
H_0:\\ \mu \ge 90 \qquad\text{vs.}\qquad H_a:\\ \mu < 90.
Observação: algumas formulações usam H_0:\\ \mu=90 e H_a:\\ \mu<90; ambas são compatíveis com um teste unilateral à esquerda. O ponto crucial é que o teste é unilateral (apontando para valores menores) e não bilateral.

Passo 4

Comparando com as alternativas dadas:
  • (a) é bilateral ( \mu\neq90) — não corresponde à suspeita do comprador (ele quer provar que é menor).
  • (b) tem H_a:\\ \mu<90 — corresponde exatamente ao que o comprador quer testar (teste unilateral à esquerda).
  • (c) usa H_a:\\ \mu\le 90 — alternativa com desigualdade não estrita em H_a não é a forma correta de declarar a hipótese alternativa (o H_a deve conter a desigualdade estrita quando se quer mostrar diferença numa direção).
  • (d) e (e) são no sentido oposto ( \mu>90 ou \mu\ge90) — favorecem o fabricante, não o comprador.

Passo 5

Interpretação prática com os dados: a média amostral \bar{x}=88,4 está abaixo de 90, o que é consistente com H_a:\\ \mu<90. Para concluir estatisticamente seria preciso calcular a estatística de teste (tendo ou não o desvio padrão populacional), o valor-p e comparar com o nível de significância; mas a questão só pede identificar o teste apropriado.

Resposta

(b)

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