(1) ( 10 pontos) Calcule as seguintes integrais indefinidas de funções racionais
\int \frac{d x}{x^{6}+1}\left(\right. a fatoração a^{3}+1=(a+1)\left(a^{2}-a+1\right) e completar quadrados podem ser úteis)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{x^{6}+1}\,.
Aqui o conteúdo principal é integração de funções racionais por frações parciais. Para isso vamos precisar fatorar o polinômio do denominador em fatores quadráticos reais e em seguida decompor em frações simples.

Passo 2

Fatoramos o denominador usando a soma de cubos duas vezes. Primeiro note que
x^{6}+1 = (x^{2})^{3} + 1 = (x^{2}+1)\bigl(x^{4} - x^{2} + 1\bigr).
Em seguida fatoramos o quartic​o em dois quadráticos irreduzíveis reais:
x^{4}-x^{2}+1 = \bigl(x^{2}-\sqrt{3}\,x+1\bigr)\bigl(x^{2}+\sqrt{3}\,x+1\bigr).

Passo 3

Escrevemos a decomposição em frações parciais:
\frac{1}{x^{6}+1} =\frac{Ax+B}{x^{2}+1} +\frac{Cx+D}{x^{2}-\sqrt{3}\,x+1} +\frac{Ex+F}{x^{2}+\sqrt{3}\,x+1}.
Multiplicamos ambos os lados por x^{6}+1 e igualamos coeficientes de potências de x, obtendo um sistema para A,B,C,D,E,F.

Passo 4

Resolvendo o sistema (por comparação de coeficientes ou avaliando em valores convenientes de x), chega-se aos valores
A=0,\quad B=\tfrac13,\quad C=\tfrac{1}{6}\sqrt{3},\quad D=\tfrac13,\quad E=-\tfrac{1}{6}\sqrt{3},\quad F=\tfrac13.
Logo
\frac{1}{x^{6}+1} =\frac{1/3}{x^{2}+1} +\frac{\tfrac{\sqrt{3}}{6}\,x + \tfrac13}{x^{2}-\sqrt{3}\,x+1} +\frac{-\tfrac{\sqrt{3}}{6}\,x + \tfrac13}{x^{2}+\sqrt{3}\,x+1}.

Passo 5

Agora integramos termo a termo.
  1. Para \displaystyle\int \frac{dx}{3(x^{2}+1)}=\tfrac{1}{3}\arctan(x)+C_{1}.
  2. Nos dois últimos termos completamos o quadrado no denominador, por exemplo
x^{2}-\sqrt{3}\,x+1 =\Bigl(x-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)^{2}+\tfrac14,
e usamos as fórmulas
\displaystyle\int\frac{x}{(x-a)^{2}+b^{2}}dx =\tfrac12\ln\bigl((x-a)^{2}+b^{2}\bigr)
e
\displaystyle\int\frac{dx}{(x-a)^{2}+b^{2}} =\frac{1}{b}\arctan\frac{x-a}{b}.
Somando tudo e ajustando constantes, chega-se ao resultado final abaixo.

Resposta

\boxed{ \int \frac{dx}{x^{6}+1} =\frac{1}{6}\ln\biggl|\frac{x^{2}+1}{\,x^{4}-x^{2}+1\,}\biggr| +\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\Bigl(\frac{2x^{2}-1}{\sqrt{3}\,x}\Bigr) + C. }

Exercícios relacionados