(1) ( 10 pontos) Calcule as seguintes integrais indefinidas de funções racionais
a fatoração
e completar quadrados podem ser úteis)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Aqui o conteúdo principal é integração de funções racionais por frações parciais. Para isso vamos precisar fatorar o polinômio do denominador em fatores quadráticos reais e em seguida decompor em frações simples.
Passo 2
Fatoramos o denominador usando a soma de cubos duas vezes. Primeiro note que
Em seguida fatoramos o quartico em dois quadráticos irreduzíveis reais:
Passo 3
Escrevemos a decomposição em frações parciais:
Multiplicamos ambos os lados por
e igualamos coeficientes de potências de
, obtendo um sistema para
.
Passo 4
Resolvendo o sistema (por comparação de coeficientes ou avaliando em valores convenientes de
), chega-se aos valores
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Passo 5
Agora integramos termo a termo.
- Para
- Nos dois últimos termos completamos o quadrado no denominador, por exemplo
e usamos as fórmulas
e
.
Somando tudo e ajustando constantes, chega-se ao resultado final abaixo.
e
Somando tudo e ajustando constantes, chega-se ao resultado final abaixo.