(5) (10 pontos) Determine pelo teste da comparação se são convergentes
\int_{0}^{1} \ln (\sin x) d x
(Dica:
\ln (\sin x)=\ln (x)+\ln (\sin (x) / x)). Qual o sinal de \ln (\sin (x) / x)) em (0,1] ?)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{0}^{1} \ln(\sin x)\,dx
é convergente, usando teste de comparação. O único ponto de possível divergência é x=0, pois em (0,1] a função \ln(\sin x) é contínua. Vamos tratar o comportamento perto de 0.

Passo 2

Usamos a identidade sugerida:
\ln(\sin x) = \ln(x) + \ln\!\bigl(\tfrac{\sin x}{x}\bigr).

Passo 3

Em (0,1] vale \sin x\le x, logo
0<\frac{\sin x}{x}\le1 \quad\Longrightarrow\quad \ln\!\bigl(\tfrac{\sin x}{x}\bigr)\le0.
Além disso \lim_{x\to0^+}\tfrac{\sin x}{x}=1, então \ln(\sin x/x)\to0. Portanto \ln(\sin x/x) é limitada em [0,1] e, por isso, integrável (própria).

Passo 4

A outra parte é
\int_{0}^{1}\ln(x)\,dx,
que é uma integral imprópria clássica e converge:
\int_{0}^{1}\ln(x)\,dx =\bigl[x\ln(x)-x\bigr]_{0}^{1} =-1.

Passo 5

Como
\int_{0}^{1}\ln(\sin x)\,dx =\int_{0}^{1}\ln(x)\,dx +\int_{0}^{1}\ln\!\bigl(\tfrac{\sin x}{x}\bigr)\,dx
e ambas as parcelas são finitas, concluímos que a integral original é convergente.

Resposta

A integral \displaystyle\int_{0}^{1}\ln(\sin x)\,dx é convergente.

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