(5) (10 pontos) Determine pelo teste da comparação se são convergentes
(Dica:
. Qual o sinal de
em
(Dica:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
é convergente, usando teste de comparação. O único ponto de possível divergência é
, pois em
a função
é contínua. Vamos tratar o comportamento perto de
.
Passo 2
Usamos a identidade sugerida:
Passo 3
Em
vale
, logo
Além disso
, então
. Portanto
é limitada em
e, por isso, integrável (própria).
Passo 4
A outra parte é
que é uma integral imprópria clássica e converge:
Passo 5
Como
e ambas as parcelas são finitas, concluímos que a integral original é convergente.
Resposta
A integral
é convergente.