(3) (10 pontos) Determine se as seguintes integrais impróprias convergem, e calcule-as em caso afirmativo.
\int_{\pi / 2}^{\pi} \operatorname{cosec} x d x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
\int_{\pi/2}^{\pi}\csc x\,dx
e, caso ela convirja, calcular seu valor. O conteúdo aqui é tratamento de integrais impróprias em que o integrando fica singular no limite de integração (aqui em x=\pi, pois \sin\pi=0).

Passo 2

Como \csc x=1/\sin x fica não limitada quando x\to\pi^-, escrevemos
\int_{\pi/2}^{\pi}\csc x\,dx =\lim_{b\to\pi^-}\int_{\pi/2}^{b}\csc x\,dx.
Assim transformamos a integral num limite de integrais próprias.

Passo 3

Precisamos de uma primitiva de \csc x. Uma fórmula padrão é
\int\csc x\,dx=\ln\bigl|\tan(\tfrac x2)\bigr|+C.

Passo 4

Aplicando a primitiva ao intervalo [\pi/2,b], temos
\int_{\pi/2}^{b}\csc x\,dx =\Bigl[\ln\bigl|\tan(\tfrac x2)\bigr|\Bigr]_{x=\pi/2}^{x=b} =\ln\bigl|\tan(\tfrac b2)\bigr|-\ln\bigl|\tan(\tfrac{\pi}{4})\bigr|.
Como \tan(\pi/4)=1, isso reduz a
\int_{\pi/2}^{b}\csc x\,dx =\ln\bigl(\tan(\tfrac b2)\bigr).

Passo 5

Agora fazemos b\to\pi^-. Note que
\tan\!\bigl(\tfrac b2\bigr)\xrightarrow[b\to\pi^-]{}\tan\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=+\infty,
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\lim_{b\to\pi^-}\ln\bigl(\tan(\tfrac b2)\bigr)=\ln(+\infty)=+\infty.
Isso mostra que o limite diverge.

Resposta

A integral imprópria diverge (vai para +\infty), portanto não converge.

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