(10 pontos) Considere os vetores
M=\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\\\ 4 & 0 \end{array}\right], \mathrm{N}=\left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\\\ 3 & 0 \end{array}\right], \mathrm{P}=\left[\begin{array}{ll} 3 & 2 \\\\ 5 & 0 \end{array}\right]
a. Determine se \theta=\{M, N, P\} é L.I.
b. Determine \left[v_{1}\right]_{\theta}, onde v_{1}=\left[\begin{array}{ll}2 & 5 \\\\ 0 & 0\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado dá três matrizes (vou escrever exatamente como foram fornecidas):
M=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]4 & 0\end{pmatrix},\qquad N=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]3 & 0\end{pmatrix},\qquad P=\begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt]5 & 0\end{pmatrix}
e pede duas coisas:
  • (a) Determinar se \theta=\{M,N,P\} é linearmente independente (L.I.);
  • (b) Determinar \left[v_{1}\right]_{\theta}, onde
v_{1}=\begin{pmatrix}2 & 5\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas: todas as matrizes são 2\times2. A resposta (a) exige verificar se a única combinação linear que dá a matriz nula é a combinação trivial. A resposta (b) exige encontrar escalares x,y,z tais que xM+yN+zP=v_{1}.]

Passo 2

Definição e aplicação ao caso: um conjunto \{M,N,P\}\) é linearmente independente quando a única solução do sistema homogêneo \[aM+bN+cP=\mathbf{0}
é a=b=c=0. Aqui \mathbf{0} é a matriz zero 2\times2. Vou escrever a combinação linear e igualar as entradas correspondentes para obter um sistema de equações para a,b,c.
Calcule a combinação:
aM+bN+cP = a\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]4 & 0\end{pmatrix} +b\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]3 & 0\end{pmatrix} +c\begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt]5 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a+b+3c & a-b+2c\\[4pt] 4a+3b+5c & 0 \end{pmatrix}.
Igualando à matriz zero \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} obtemos o sistema (cada igualdade vem de uma entrada correspondente):
\begin{cases} 2a+b+3c=0,\\[4pt] a-b+2c=0,\\[4pt] 4a+3b+5c=0. \end{cases}
(a quarta entrada dá (0=0] e é redundante.)]

Passo 3

Resolver o sistema homogêneo. Vou resolver por eliminação (Gauss), mostrando as operações:
Matriz aumentada (só coeficientes, pois RHS são zeros):
\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 3\\[4pt] 1 & -1 & 2\\[4pt] 4 & 3 & 5 \end{array}\right].
Troco a linha 1 com a linha 2 para pivotar com 1:
\left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2\\[4pt] 2 & 1 & 3\\[4pt] 4 & 3 & 5 \end{array}\right].
Eliminação abaixo do pivô da primeira coluna:
  • [R_2 \leftarrow R_2-2R_1) dá R_2=[0,\;3,\;-1].
  • R_3 \leftarrow R_3-4R_1 R_3=[0,\;7,\;-3].
Agora a matriz é
\left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 3 & -1\\[4pt] 0 & 7 & -3 \end{array}\right].
Elimino abaixo do pivô da segunda coluna: R_3\leftarrow R_3-\tfrac{7}{3}R_2.
Cálculo da terceira linha:
  • Segunda entrada: 7-\tfrac{7}{3}\cdot 3=0.
  • Terceira entrada: -3-\tfrac{7}{3}\cdot(-1)=-3+\tfrac{7}{3}=\dfrac{-9+7}{3}=-\tfrac{2}{3}.
Então a linha 3 fica [0,\;0,\;-\tfrac{2}{3}]. Assim o sistema reduzido corresponde a:
\begin{cases} a - b + 2c = 0,\\[4pt] 3b - c = 0,\\[4pt] -\tfrac{2}{3}c = 0. \end{cases}
Da última equação obtemos c=0\]. Substituindo em \(3b-c=0 3b=0\Rightarrow b=0. Finalmente a-b+2c=0 a=0.]

Passo 4

Conclusão da parte (a): a única solução é a=b=c=0, portanto \theta=\{M,N,P\} é linearmente independente. Explicação curta e didática: igualamos entradas e resolvemos o sistema homogêneo; como só surgiram coeficientes triviais, nenhum dos vetores (matrizes) pode ser escrito como combinação linear dos outros.

Passo 5

Agora a parte (b): queremos encontrar escalares x,y,z tais que
xM+yN+zP=v_{1}.
Escrevendo as entradas:
x\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]4 & 0\end{pmatrix} +y\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]3 & 0\end{pmatrix} +z\begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt]5 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 5\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Igualando entradas obtemos o sistema não homogêneo:
\begin{cases} 2x+y+3z=2,\\[4pt] x-y+2z=5,\\[4pt] 4x+3y+5z=0. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema para x,y,z por eliminação (mostrando operações):
Matriz aumentada:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 3 & 2\\[4pt] 1 & -1 & 2 & 5\\[4pt] 4 & 3 & 5 & 0 \end{array}\right].
Troco R_1 com R_2 para ter pivô 1:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 5\\[4pt] 2 & 1 & 3 & 2\\[4pt] 4 & 3 & 5 & 0 \end{array}\right].
Eliminação abaixo do primeiro pivô:
  • R_2\leftarrow R_2-2R_1 R_2=[0,\;3,\;-1\mid -8] porque 2-2\cdot5=-8.
  • R_3\leftarrow R_3-4R_1 R_3=[0,\;7,\;-3\mid -20] porque 0-4\cdot5=-20.
Agora:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 5\\[4pt] 0 & 3 & -1 & -8\\[4pt] 0 & 7 & -3 & -20 \end{array}\right].
Eliminação na terceira linha: R_3\leftarrow R_3-\tfrac{7}{3}R_2.
Cálculos:
  • Terceira coluna: -3-\tfrac{7}{3}(-1)=-3+\tfrac{7}{3}=-\tfrac{2}{3}.
  • Termo independente: -20-\tfrac{7}{3}(-8)=-20+\tfrac{56}{3}=\dfrac{-60+56}{3}=-\dfrac{4}{3}.
Então a terceira linha vira [0,\;0,\;-\tfrac{2}{3}\mid -\tfrac{4}{3}], que corresponde à equação
-\tfrac{2}{3}z=-\tfrac{4}{3}.
Dessa equação segue z=2.
Substituindo z=2 na segunda equação 3y - z = -8 (notei que a segunda linha é 0\cdot x + 3y -1z = -8):
3y - 2 = -8 \quad\Rightarrow\quad 3y=-6 \quad\Rightarrow\quad y=-2.
Substituindo y=-2 e z=2 na primeira equação x - y +2z =5:
x - (-2) + 2\cdot 2 = 5 \quad\Rightarrow\quad x+2+4=5 \quad\Rightarrow\quad x=5-6=-1.]

Passo 7

Interpretação final e verificação rápida: os coeficientes encontrados são x=-1,\;y=-2,\;z=2. Se quiser conferir, calcular a combinação:
-1\cdot M + (-2)\cdot N + 2\cdot P = \begin{pmatrix}2(-1)+1(-2)+3(2) & (-1)-(-2)+2(2)\\[4pt]4(-1)+3(-2)+5(2) & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2-2+6 & -1+2+4\\[4pt]-4-6+10 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 5\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},
que é exatamente v_{1}. Tudo confere.]

Resposta

a) \theta é linearmente independente.
b) \left[v_{1}\right]_{\theta}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-2\\[4pt]2\end{pmatrix}]

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