a. Determine se \theta=\{M, N, P\} é L.I.
b. Determine \left[v_{1}\right]_{\theta}, onde v_{1}=\left[\begin{array}{ll}2 & 5 \\\\ 0 & 0\end{array}\right].
Passo 1
O enunciado dá três matrizes (vou escrever exatamente como foram fornecidas):
Informações relevantes dadas: todas as matrizes são 2\times2. A resposta (a) exige verificar se a única combinação linear que dá a matriz nula é a combinação trivial. A resposta (b) exige encontrar escalares x,y,z tais que xM+yN+zP=v_{1}.]
Passo 2
Definição e aplicação ao caso: um conjunto \{M,N,P\}\) é linearmente independente quando a única solução do sistema homogêneo
\[aM+bN+cP=\mathbf{0}
é a=b=c=0. Aqui \mathbf{0} é a matriz zero 2\times2. Vou escrever a combinação linear e igualar as entradas correspondentes para obter um sistema de equações para a,b,c.
Então a linha 3 fica [0,\;0,\;-\tfrac{2}{3}]. Assim o sistema reduzido corresponde a:
\begin{cases} a - b + 2c = 0,\\[4pt] 3b - c = 0,\\[4pt] -\tfrac{2}{3}c = 0. \end{cases}
Da última equação obtemos c=0\]. Substituindo em \(3b-c=0 dá 3b=0\Rightarrow b=0. Finalmente a-b+2c=0 dá a=0.]
Passo 4
Conclusão da parte (a): a única solução é a=b=c=0, portanto \theta=\{M,N,P\} é linearmente independente. Explicação curta e didática: igualamos entradas e resolvemos o sistema homogêneo; como só surgiram coeficientes triviais, nenhum dos vetores (matrizes) pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Passo 5
Agora a parte (b): queremos encontrar escalares x,y,z tais que