(5 pontos) Considere um espaço vetorial arbitrário V. Se k \vec{v}=\overrightarrow{0}, então k=0 ou \vec{v}=\overrightarrow{0}.

Passo 1

O enunciado dá um espaço vetorial arbitrário V. São fornecidos:
  • um escalar k (pertencente ao corpo de escalares do espaço vetorial) e um vetor \vec{v}\in V;
  • a igualdade k\vec{v}=\overrightarrow{0} (onde \overrightarrow{0} é o vetor nulo de V).
O que o problema pede: provar que, a partir dessa igualdade, necessariamente vale que k=0 ou \vec{v}=\overrightarrow{0}.

Passo 2

Estratégia básica (sem resolver ainda): vamos analisar os dois casos possíveis para o escalar k:
  • caso 1: k=0 (o escalar nulo);
  • caso 2: k\neq 0 (escalares não nulos têm inverso multiplicativo).
Cada caso será tratado com propriedades elementares do espaço vetorial. Não se preocupe: vou provar as propriedades auxiliares que eu usar.

Passo 3

Primero, mostrar uma propriedade útil e simples: para todo vetor \vec{w}\in V vale
0\cdot\vec{w}=\overrightarrow{0},
onde o primeiro 0 é o escalar nulo e o segundo é o vetor nulo. Prova passo a passo:
  1. Pelo axioma do corpo de escalares, 0=0+0.
  2. Aplicando distributividade do produto escalar em relação à soma escalar:
0\cdot\vec{w}=(0+0)\cdot\vec{w}=0\cdot\vec{w}+0\cdot\vec{w}.
  1. Agora somamos o inverso aditivo de 0\cdot\vec{w} (que existe em V) em ambos os lados da igualdade:
0\cdot\vec{w} + \big(-0\cdot\vec{w}\big) = \big(0\cdot\vec{w}+0\cdot\vec{w}\big) + \big(-0\cdot\vec{w}\big).
  1. O lado esquerdo é \overrightarrow{0}. No lado direito, associando, fica 0\cdot\vec{w} + \big(0\cdot\vec{w} + (-0\cdot\vec{w})\big)=0\cdot\vec{w}+\overrightarrow{0}=0\cdot\vec{w}. Logo
\overrightarrow{0}=0\cdot\vec{w}.
Isso prova a propriedade.

Passo 4

Tratar o caso 1: k=0.
Se k=0 então, aplicando a propriedade do passo anterior com \vec{w}=\vec{v}, obtemos
k\vec{v}=0\cdot\vec{v}=\overrightarrow{0},
então a igualdade dada é satisfeita com k=0. Nesse caso a conclusão “ k=0 ou \vec v=\overrightarrow{0}” já é verdadeira (a alternativa k=0 ocorre).

Passo 5

Tratar o caso 2: k\neq 0.
Aqui usamos que, em um corpo de escalares, todo escalar não nulo tem inverso multiplicativo k^{-1}. Começamos da hipótese
k\vec{v}=\overrightarrow{0}.
Multiplicamos ambos os lados do produto escalar pelo escalar k^{-1}. Pela associatividade do produto escalar (propriedade do espaço vetorial) e pela propriedade do inverso multiplicativo obtemos:
k^{-1}\big(k\vec{v}\big)=(k^{-1}k)\vec{v}=1\cdot\vec{v}=\vec{v}.

Passo 6

Ainda no caso k\neq 0, precisamos ver o que acontece com o lado direito ao multiplicar por k^{-1}. Como \overrightarrow{0} é o vetor nulo, vale a propriedade geral (análoga à do passo 3) de que, para todo escalar a,
a\cdot\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}.
Portanto
k^{-1}\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}.

Passo 7

Combinar os resultados do passo 5 e do passo 6: aplicando k^{-1} na igualdade original tivemos
\vec{v}=k^{-1}\big(k\vec{v}\big)=k^{-1}\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}.
Logo, sob a hipótese k\neq 0, necessariamente \vec{v}=\overrightarrow{0}.

Passo 8

Conclusão final (juntando os casos): a partir da hipótese k\vec{v}=\overrightarrow{0} chegamos a:
  • se k=0 então a afirmativa é satisfeita pela alternativa k=0;
  • se k\neq 0 então mostramos que \vec{v}=\overrightarrow{0}.
Portanto sempre vale que k=0 ou \vec{v}=\overrightarrow{0}. Uma forma curta de lembrar: um escalar não nulo tem inverso, então só ele pode “desfazer” o fator k; se não houver inverso (quando k=0) a igualdade já é trivial.

Resposta

Verdadeiro.

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