(5 pontos) Considere um espaço vetorial arbitrário
. Se
, então
ou
.
Passo 1
O enunciado dá um espaço vetorial arbitrário
. São fornecidos:
- um escalar
(pertencente ao corpo de escalares do espaço vetorial) e um vetor ; - a igualdade
(onde é o vetor nulo de ).
O que o problema pede: provar que, a partir dessa igualdade, necessariamente vale que
ou
.
Passo 2
Estratégia básica (sem resolver ainda): vamos analisar os dois casos possíveis para o escalar
:
- caso 1:
(o escalar nulo); - caso 2:
(escalares não nulos têm inverso multiplicativo).
Cada caso será tratado com propriedades elementares do espaço vetorial. Não se preocupe: vou provar as propriedades auxiliares que eu usar.
Passo 3
Primero, mostrar uma propriedade útil e simples: para todo vetor
vale
onde o primeiro
é o escalar nulo e o segundo é o vetor nulo. Prova passo a passo:
- Pelo axioma do corpo de escalares,
. - Aplicando distributividade do produto escalar em relação à soma escalar:
- Agora somamos o inverso aditivo de
(que existe em ) em ambos os lados da igualdade:
- O lado esquerdo é
. No lado direito, associando, fica . Logo
Isso prova a propriedade.
Passo 4
Tratar o caso 1:
.
Se
então, aplicando a propriedade do passo anterior com
, obtemos
então a igualdade dada é satisfeita com
. Nesse caso a conclusão “
ou
” já é verdadeira (a alternativa
ocorre).
Passo 5
Tratar o caso 2:
.
Aqui usamos que, em um corpo de escalares, todo escalar não nulo tem inverso multiplicativo
. Começamos da hipótese
Multiplicamos ambos os lados do produto escalar pelo escalar
. Pela associatividade do produto escalar (propriedade do espaço vetorial) e pela propriedade do inverso multiplicativo obtemos:
Passo 6
Ainda no caso
, precisamos ver o que acontece com o lado direito ao multiplicar por
. Como
é o vetor nulo, vale a propriedade geral (análoga à do passo 3) de que, para todo escalar
,
Portanto
Passo 7
Combinar os resultados do passo 5 e do passo 6: aplicando
na igualdade original tivemos
Logo, sob a hipótese
, necessariamente
.
Passo 8
Conclusão final (juntando os casos): a partir da hipótese
chegamos a:
- se
então a afirmativa é satisfeita pela alternativa ; - se
então mostramos que .
Portanto sempre vale que
ou
. Uma forma curta de lembrar: um escalar não nulo tem inverso, então só ele pode “desfazer” o fator
; se não houver inverso (quando
) a igualdade já é trivial.
Resposta
Verdadeiro.