( 20 pontos) Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de P_{3}(\mathbb{R}) (polinômios de grau no máximo 3). Em caso afirmativo exibir uma base.
U=\left\{a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3} \in P_{3}(\mathbb{R}) \mid a_{3}=a_{0}+1\right\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
U=\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\in P_{3}(\mathbb{R}) \mid a_{3}=a_{0}+1\}.
A pergunta é: U é um subespaço de P_{3}(\mathbb{R})? Se for, exibir uma base.
Informações importantes fornecidas:
  • Elementos de P_{3}(\mathbb{R}) são polinômios da forma \;a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\; com a_{i}\in\mathbb{R}.
  • Em U há a restrição \;a_{3}=a_{0}+1\; entre os coeficientes.
O que se pede:
  • Determinar se U é subespaço linear.
  • Caso afirmativo, apresentar uma base de U.

Passo 2

Lembra do que é subespaço linear (vamos mastigar): um subconjunto V de um espaço vetorial E é subespaço se e somente se ele satisfaz três propriedades equivalentes práticas:
  1. V contém o vetor zero de E.
  2. V é fechado sob adição: se u,v\in V então u+v\in V.
  3. V é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in V e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u\in V.
Outra forma rápida: V é subespaço se for não-vazio e fechado sob combinações lineares (soma e multiplicação por escalares). Uma observação conceitual importante e útil na prova: todo subespaço deve passar pela origem — isto é, o polinômio zero (todas as componentes zero) tem que pertencer ao subespaço.
Vou usar essas condições para testar U. Se qualquer uma falhar (por exemplo, o polinômio zero não pertencer a U), então U não é subespaço.

Passo 3

Testar se o polinômio zero pertence a U.
O polinômio zero em P_{3}(\mathbb{R}) tem coeficientes \;a_{0}=0,\;a_{1}=0,\;a_{2}=0,\;a_{3}=0.
A condição para pertencer a U é \;a_{3}=a_{0}+1. Substituindo os coeficientes do polinômio zero:
0 \stackrel{?}{=} 0 + 1.
Isso dá 0=1, que é falso. Logo o polinômio zero NÃO pertence a U.
Conclusão imediata: como um subespaço deve conter o vetor zero e U não o contém, U não pode ser um subespaço linear de P_{3}(\mathbb{R}).
(Vamos continuar com mais explicações didáticas: mostrar também pela falta de fechamento sob soma e por multiplicação por escalar, para fixar a ideia.)

Passo 4

Testar fechamento sob soma com um argumento algébrico geral e com um contraexemplo concreto.
Sejam
p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\in U \quad\text{e}\quad q(x)=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+b_{3}x^{3}\in U.
Pelo enunciado temos \;a_{3}=a_{0}+1 e \;b_{3}=b_{0}+1.
Considere p+q. Os coeficientes somados satisfazem
\text{coeficiente do }x^{3}\text{ em }(p+q)=a_{3}+b_{3}=(a_{0}+1)+(b_{0}+1)=a_{0}+b_{0}+2,
enquanto o termo independente de p+q é a_{0}+b_{0}. Para que p+q estivesse em U precisaríamos ter
a_{3}+b_{3}=(a_{0}+b_{0})+1,
isto é,
a_{0}+b_{0}+2 = a_{0}+b_{0}+1,
o que é falso em geral. Então a soma de dois elementos de U normalmente não satisfaz a condição de U — falta exatamente 1.
Contraexemplo concreto e simples: escolha a_{0}=0,\;a_{1}=a_{2}=0,\;a_{3}=1, ou seja p(x)=x^{3}. Então p\in U porque 1 = 0+1. Tome q=p (o mesmo polinômio). Então
p+q = 2x^{3},
cujos coeficientes são a_{0}+b_{0}=0 e a_{3}+b_{3}=2. A condição exigiria 2 = 0+1, que é falsa. Assim p+q\notin U. Isso mostra falta de fechamento sob adição.

Passo 5

Testar fechamento sob multiplicação por escalar (uma falha trivial e bastante direta).
Pegue p(x)=x^{3}\in U como antes (pois 1 = 0+1). Multiplique por \lambda=0. Então 0\cdot p(x)=0 é o polinômio zero, que já vimos não pertence a U. Logo U não é fechado sob multiplicação por escalares. Isso é uma outra forma direta de concluir que U não é subespaço.

Passo 6

Interpretação geométrica e estrutura de U (explicação conceitual útil para a prova).
A condição \;a_{3}=a_{0}+1\; é uma equação afim (envolve uma constante 1), então U é um subconjunto afim de P_{3}(\mathbb{R}): é um deslocamento (uma “reta/plano” deslocado) de um subespaço linear. Em termos concretos, defina
W=\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\in P_{3}(\mathbb{R}) \mid a_{3}=a_{0}\}.
Note que W satisfaz uma condição homogênea ( a_{3}-a_{0}=0) e é subespaço linear. Um elemento genérico de W pode ser escrito como
a_{0}(1+x^{3}) + a_{1}x + a_{2}x^{2}.
Isto mostra que W=\operatorname{span}\{\,1+x^{3},\;x,\;x^{2}\,\}, que é um subespaço de dimensão 3.
Escolhendo um polinômio particular que satisfaça a condição de U, por exemplo v(x)=x^{3} (tem a_{0}=0,a_{3}=1), verifica-se que
U = v + W = \{v+w \mid w\in W\},
ou seja, U é um coset (uma translação) de W. Isso confirma a ideia: U é um subespaço afim (uma reta/hiperplano deslocado) e não um subespaço linear porque não passa pela origem.

Passo 7

Resumo final e motivação para a prova: para testar subespaço, verifique primeiro o polinômio zero — aqui já deu ruim; alternativas rápidas: usar fechamento sob soma ou escalares — também falham. Então não perca tempo tentando achar base de U: ela não existe porque U não é subespaço linear. Mas é útil saber que a direção linear associada é W e que \{1+x^{3},x,x^{2}\} é uma base de W caso precise trabalhar com a estrutura afim.
Força aí — foi uma falha simples (a constante +1 entrega que é um conjunto afim, não linear). Relaxa que essas pegadinhas costumam cair na prova; agora fica fácil identificar outras iguais.

Resposta

Não; U não é subespaço de P_{3}(\mathbb{R}).

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