( 20 pontos) Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de
(polinômios de grau no máximo 3). Em caso afirmativo exibir uma base.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
A pergunta é:
é um subespaço de
? Se for, exibir uma base.
Informações importantes fornecidas:
- Elementos de
são polinômios da forma com . - Em
há a restrição entre os coeficientes.
O que se pede:
- Determinar se
é subespaço linear. - Caso afirmativo, apresentar uma base de
.
Passo 2
Lembra do que é subespaço linear (vamos mastigar): um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se e somente se ele satisfaz três propriedades equivalentes práticas:
-
contém o vetor zero de . -
é fechado sob adição: se então . -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e então .
Outra forma rápida:
é subespaço se for não-vazio e fechado sob combinações lineares (soma e multiplicação por escalares). Uma observação conceitual importante e útil na prova: todo subespaço deve passar pela origem — isto é, o polinômio zero (todas as componentes zero) tem que pertencer ao subespaço.
Vou usar essas condições para testar
. Se qualquer uma falhar (por exemplo, o polinômio zero não pertencer a
), então
não é subespaço.
Passo 3
Testar se o polinômio zero pertence a
.
O polinômio zero em
tem coeficientes
.
A condição para pertencer a
é
. Substituindo os coeficientes do polinômio zero:
Isso dá
, que é falso. Logo o polinômio zero NÃO pertence a
.
Conclusão imediata: como um subespaço deve conter o vetor zero e
não o contém,
não pode ser um subespaço linear de
.
(Vamos continuar com mais explicações didáticas: mostrar também pela falta de fechamento sob soma e por multiplicação por escalar, para fixar a ideia.)
Passo 4
Testar fechamento sob soma com um argumento algébrico geral e com um contraexemplo concreto.
Sejam
Pelo enunciado temos
e
.
Considere
. Os coeficientes somados satisfazem
enquanto o termo independente de
é
. Para que
estivesse em
precisaríamos ter
isto é,
o que é falso em geral. Então a soma de dois elementos de
normalmente não satisfaz a condição de
— falta exatamente 1.
Contraexemplo concreto e simples: escolha
, ou seja
. Então
porque
. Tome
(o mesmo polinômio). Então
cujos coeficientes são
e
. A condição exigiria
, que é falsa. Assim
. Isso mostra falta de fechamento sob adição.
Passo 5
Testar fechamento sob multiplicação por escalar (uma falha trivial e bastante direta).
Pegue
como antes (pois
). Multiplique por
. Então
é o polinômio zero, que já vimos não pertence a
. Logo
não é fechado sob multiplicação por escalares. Isso é uma outra forma direta de concluir que
não é subespaço.
Passo 6
Interpretação geométrica e estrutura de
(explicação conceitual útil para a prova).
A condição
é uma equação afim (envolve uma constante
), então
é um subconjunto afim de
: é um deslocamento (uma “reta/plano” deslocado) de um subespaço linear. Em termos concretos, defina
Note que
satisfaz uma condição homogênea (
) e é subespaço linear. Um elemento genérico de
pode ser escrito como
Isto mostra que
, que é um subespaço de dimensão
.
Escolhendo um polinômio particular que satisfaça a condição de
, por exemplo
(tem
), verifica-se que
ou seja,
é um coset (uma translação) de
. Isso confirma a ideia:
é um subespaço afim (uma reta/hiperplano deslocado) e não um subespaço linear porque não passa pela origem.
Passo 7
Resumo final e motivação para a prova: para testar subespaço, verifique primeiro o polinômio zero — aqui já deu ruim; alternativas rápidas: usar fechamento sob soma ou escalares — também falham. Então não perca tempo tentando achar base de
: ela não existe porque
não é subespaço linear. Mas é útil saber que a direção linear associada é
e que
é uma base de
caso precise trabalhar com a estrutura afim.
Força aí — foi uma falha simples (a constante +1 entrega que é um conjunto afim, não linear). Relaxa que essas pegadinhas costumam cair na prova; agora fica fácil identificar outras iguais.
Resposta
Não;
não é subespaço de
.