(10 pontos) Encontre equações paramétricas da reta determinada pelos pontos A=(1,-1,1) e B=(1,2,3).

Passo 1

O enunciado pede para achar equações paramétricas da reta que passa pelos pontos
A = (1,-1,1)
e
B = (1,2,3).
Isso envolve dois pontos no espaço, então vamos usar a forma vetorial da reta:
\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + t\,\mathbf{d},
onde \mathbf{r}_0 é um ponto da reta e \mathbf{d} é o vetor diretor.

Passo 2

Para encontrar o vetor diretor \mathbf{d}, subtraímos as coordenadas de A das de B:
\mathbf{d} = \overrightarrow{AB} = B - A = (\,1-1,\;2-(-1),\;3-1\,) = (0,\,3,\,2).

Passo 3

Escolhemos como ponto inicial \mathbf{r}_0 as coordenadas de A:
\mathbf{r}_0 = (1,-1,1).
Então a forma vetorial da reta é
\mathbf{r}(t) = (1,-1,1) + t\,(0,3,2).

Passo 4

Agora escrevemos isso em equações paramétricas, separando as componentes x, y e z:
x(t) = 1 + t\cdot 0 = 1,
y(t) = -1 + t\cdot 3 = -1 + 3t,
z(t) = 1 + t\cdot 2 = 1 + 2t.

Resposta

As equações paramétricas da reta são
\begin{cases} x = 1,\\\ y = -1 + 3t,\\\ z = 1 + 2t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.

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