Seja W subespaço de um espaço vetorial com produto interno V. Para todo v \in V, seja v=v^{\prime}+v^{\prime \prime}, v^{\prime} \in W e v^{\prime \prime} \in W^{\perp}. Mostre que T: V \rightarrow V tal que T(v)=v^{\prime}-v^{\prime \prime} é operador linear auto-adjunto (ou seja, que satisfaz \langle u, T(v)\rangle=\langle T(u), v\rangle, \forall u, v \in V).

Passo 1

O enunciado trabalha num espaço vetorial com produto interno V e num subespaço W. Cada vetor v\in V se decompõe de forma única como
v = v' + v'',\quad v'\in W,\;v''\in W^\perp.
Define-se então
T\colon V\to V,\quad T(v)=v'-v''.
Precisamos mostrar duas coisas: (1) T é linear e (2) T é auto-adjunto, isto é,
\langle u,\,T(v)\rangle = \langle T(u),\,v\rangle \quad\forall\,u,v\in V.

Passo 2

Vamos ver que T é linear. Sejam u,v\in V com decomposições
u = u' + u'',\quad v = v' + v'',
e \alpha\in\mathbb{K}. Então
T(u+v) = (u'+v') - (u''+v'') = (u'-u'') + (v'-v'') = T(u)+T(v),
e
T(\alpha v) = \alpha v' - \alpha v'' = \alpha\,(v'-v'') = \alpha\,T(v).
Logo T é linear.

Passo 3

Agora mostremos a auto-adjungência. Escrevendo novamente
u = u' + u'',\quad v = v' + v'',
temos
\langle u,\,T(v)\rangle = \big\langle u'+u'',\,v'-v''\big\rangle = \langle u',v'\rangle - \langle u',v''\rangle + \langle u'',v'\rangle - \langle u'',v''\rangle.
Como u'\in W e v''\in W^\perp temos \langle u',v''\rangle=0, e como u''\in W^\perp e v'\in W temos \langle u'',v'\rangle=0. Logo
\langle u,\,T(v)\rangle = \langle u',v'\rangle - \langle u'',v''\rangle.
Por outro lado,
\langle T(u),\,v\rangle = \big\langle u'-u'',\,v'+v''\big\rangle = \langle u',v'\rangle + \langle u',v''\rangle - \langle u'',v'\rangle - \langle u'',v''\rangle = \langle u',v'\rangle - \langle u'',v''\rangle.
Concluímos que
\langle u,\,T(v)\rangle = \langle T(u),\,v\rangle,
ou seja, T é auto-adjunto.

Resposta

O operador T é linear e satisfaz
\langle u,\,T(v)\rangle = \langle T(u),\,v\rangle \quad\forall\,u,v\in V,
logo é auto-adjunto.

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