Seja
subespaço de um espaço vetorial com produto interno
. Para todo
, seja
,
e
. Mostre que
tal que
é operador linear auto-adjunto (ou seja, que satisfaz
.
Passo 1
O enunciado trabalha num espaço vetorial com produto interno
e num subespaço
. Cada vetor
se decompõe de forma única como
Define-se então
Precisamos mostrar duas coisas: (1)
é linear e (2)
é auto-adjunto, isto é,
Passo 2
Vamos ver que
é linear. Sejam
com decomposições
e
. Então
e
Logo
é linear.
Passo 3
Agora mostremos a auto-adjungência. Escrevendo novamente
temos
Como
e
temos
, e como
e
temos
. Logo
Por outro lado,
Concluímos que
ou seja,
é auto-adjunto.
Resposta
O operador
é linear e satisfaz
logo é auto-adjunto.