(20 pontos) Encontre equações paramétricas e geral do plano determinado pelos pontos A=(1,-1,1), B=(1,2,3) e C=(2,1,3).
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as equações paramétricas e a equação geral do plano que passa pelos pontos A=(1,-1,1), B=(1,2,3) e C=(2,1,3).
Conteúdo: geometria analítica em \mathbb{R}^3. Vamos usar vetores de direção para escrever a forma paramétrica e produto vetorial para obter o vetor normal e, daí, a forma geral.
Passo 2
Calcular dois vetores de direção no plano, por exemplo
\overrightarrow{AB} = B - A = (1-1,\;2-(-1),\;3-1) = (0,3,2),
\overrightarrow{AC} = C - A = (2-1,\;1-(-1),\;3-1) = (1,2,2).
Passo 3
Escrever a forma paramétrica usando A como ponto base e parâmetros s,t\in\mathbb{R}:
(x,y,z) = (1,-1,1) + s\,(0,3,2) + t\,(1,2,2).
Em coordenadas separadas:
\begin{cases} x = 1 + 0\cdot s + 1\cdot t = 1 + t,\\\ y = -1 + 3s + 2t,\\\ z = 1 + 2s + 2t. \end{cases}
Passo 4
Obter o vetor normal \mathbf{n} como produto vetorial