(20 pontos) Encontre equações paramétricas e geral do plano determinado pelos pontos A=(1,-1,1), B=(1,2,3) e C=(2,1,3).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as equações paramétricas e a equação geral do plano que passa pelos pontos A=(1,-1,1), B=(1,2,3) e C=(2,1,3).
Conteúdo: geometria analítica em \mathbb{R}^3. Vamos usar vetores de direção para escrever a forma paramétrica e produto vetorial para obter o vetor normal e, daí, a forma geral.

Passo 2

Calcular dois vetores de direção no plano, por exemplo
\overrightarrow{AB} = B - A = (1-1,\;2-(-1),\;3-1) = (0,3,2),
\overrightarrow{AC} = C - A = (2-1,\;1-(-1),\;3-1) = (1,2,2).

Passo 3

Escrever a forma paramétrica usando A como ponto base e parâmetros s,t\in\mathbb{R}:
(x,y,z) = (1,-1,1) + s\,(0,3,2) + t\,(1,2,2).
Em coordenadas separadas:
\begin{cases} x = 1 + 0\cdot s + 1\cdot t = 1 + t,\\\ y = -1 + 3s + 2t,\\\ z = 1 + 2s + 2t. \end{cases}

Passo 4

Obter o vetor normal \mathbf{n} como produto vetorial
\mathbf{n} = \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} = (0,3,2)\times(1,2,2).
Fazendo o determinante
\mathbf{n} = \bigl(3\cdot2-2\cdot2,\;2\cdot1-0\cdot2,\;0\cdot2-3\cdot1\bigr) = (2,2,-3).

Passo 5

Escrever a equação geral usando \mathbf{n}\cdot\bigl((x,y,z)-A\bigr)=0:
2\,(x-1) + 2\,(y+1) -3\,(z-1) = 0.
Expandindo:
2x -2 +2y +2 -3z +3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x +2y -3z +3 = 0.

Resposta

Equações paramétricas:
\begin{cases} x = 1 + t,\\\ y = -1 + 3s + 2t,\\\ z = 1 + 2s + 2t, \end{cases} \quad s,t\in\mathbb{R}.
Equação geral do plano:
2x + 2y - 3z + 3 = 0.

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