( 10 pontos)
\lim _{x \rightarrow 5}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 5}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão é a função f(x)=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}.
  • O ponto ao qual x se aproxima é x=5.
  • A função está bem definida em pontos próximos de 5 (exceto em x=0, que não nos interessa aqui).
  • Precisamos calcular o limite quando x tende a 5 (duas direções, esquerda e direita).

Passo 2

Primeira tentativa natural: verificar se podemos simplesmente substituir x=5 na expressão. Substituir significa avaliar a função em x=5:
\left(1+\frac{1}{5}\right)^{5}.
Mas antes de aceitar isso como resposta, precisamos justificar por que a substituição direta é válida (isto é, por que a função é contínua em x=5).

Passo 3

Explicação didática sobre continuidade da forma g(x)^{h(x)}:
  • Para g(x)^{h(x)} com g(x)>0, podemos reescrever usando exponencial e logaritmo:
g(x)^{h(x)} = \exp\big(h(x)\ln(g(x))\big).
Aqui \exp é a função exponencial e^{(\cdot)} e \ln é o logaritmo natural; ambas são funções contínuas nas suas regiões de definição. Se g e h são contínuas num ponto a e g(a)>0, então a composição \exp(h(x)\ln(g(x))) é contínua em a. Logo
\lim_{x\to a} g(x)^{h(x)} = g(a)^{h(a)}.
  • No nosso caso, defina g(x)=1+\dfrac{1}{x} e h(x)=x. Ambas são contínuas em x=5 e g(5)=1+\dfrac{1}{5}>0. Portanto podemos avaliar o limite por substituição.

Passo 4

Aplicando a justificativa ao problema: avaliar g(5) e h(5):
g(5)=1+\frac{1}{5}=\frac{6}{5}, \qquad h(5)=5.
Pela continuidade comentada no passo anterior, tem-se que o limite é a potência formada por esses valores:
\left(\frac{6}{5}\right)^{5}.

Passo 5

Método alternativo (útil quando aparece indeterminação do tipo 1^\infty, aqui não é necessário, mas é bom ver a técnica):
  • Tomamos o logaritmo da expressão e usamos a continuidade da exponencial:
\lim_{x\to 5}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} = \exp\left(\lim_{x\to 5} x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right)\right).
  • Como x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right) é contínuo em x=5, basta substituir x=5:
\lim_{x\to 5} x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right) = 5\ln\!\left(\frac{6}{5}\right),
e assim a expressão volta a ser \exp\big(5\ln(\tfrac{6}{5})\big)=\left(\tfrac{6}{5}\right)^5, confirmando o resultado do passo anterior.

Passo 6

Cálculo exato e aproximação numérica:
  • Elevar \dfrac{6}{5} à quinta potência:
\left(\frac{6}{5}\right)^5 = \frac{6^5}{5^5} = \frac{7776}{3125}.
  • Aproximação decimal (para intuir o valor):
\frac{7776}{3125}\approx 2,48832.

Passo 7

Resumo e incentivo: concluímos por continuidade (ou pelo método do logaritmo) que o limite existe e é a potência avaliada em x=5. Você fez bem em verificar a continuidade antes de simplesmente substituir — esse passo salva em muitos limites. Continua firme, isso aqui é tranquilo comparado com limites envolvendo x\to\infty.

Resposta

\dfrac{7776}{3125}

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