( 10 pontos)
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão é a função
. - O ponto ao qual
se aproxima é . - A função está bem definida em pontos próximos de
(exceto em , que não nos interessa aqui). - Precisamos calcular o limite quando
tende a (duas direções, esquerda e direita).
Passo 2
Primeira tentativa natural: verificar se podemos simplesmente substituir
na expressão. Substituir significa avaliar a função em
:
Mas antes de aceitar isso como resposta, precisamos justificar por que a substituição direta é válida (isto é, por que a função é contínua em
).
Passo 3
Explicação didática sobre continuidade da forma
:
- Para
com , podemos reescrever usando exponencial e logaritmo:
Aqui
é a função exponencial
e
é o logaritmo natural; ambas são funções contínuas nas suas regiões de definição. Se
e
são contínuas num ponto
e
, então a composição
é contínua em
. Logo
- No nosso caso, defina
e . Ambas são contínuas em e . Portanto podemos avaliar o limite por substituição.
Passo 4
Aplicando a justificativa ao problema: avaliar
e
:
Pela continuidade comentada no passo anterior, tem-se que o limite é a potência formada por esses valores:
Passo 5
Método alternativo (útil quando aparece indeterminação do tipo
, aqui não é necessário, mas é bom ver a técnica):
- Tomamos o logaritmo da expressão e usamos a continuidade da exponencial:
- Como
é contínuo em , basta substituir :
e assim a expressão volta a ser
, confirmando o resultado do passo anterior.
Passo 6
Cálculo exato e aproximação numérica:
- Elevar
à quinta potência:
- Aproximação decimal (para intuir o valor):
Passo 7
Resumo e incentivo: concluímos por continuidade (ou pelo método do logaritmo) que o limite existe e é a potência avaliada em
. Você fez bem em verificar a continuidade antes de simplesmente substituir — esse passo salva em muitos limites. Continua firme, isso aqui é tranquilo comparado com limites envolvendo
.