A energia potencial total de uma barra elástica de comprimento l, engastada em uma extremidade, e solicitada por uma força axial P na outra extremidade livre é:
\Pi=\frac{1}{2} E A \int_{0}^{l}\left(u^{\prime}\right)^{2} d x-P \delta
sendo E, A, u e \delta grandezas já definidas nos outros exercícios. Determinar a primeira variação de \Pi.
onde E e A são constantes (módulo de Young e área da secção), u(x) é o deslocamento axial ao longo da barra, e \delta é o deslocamento na extremidade livre. Como a barra está engastada em x=0, temos a condição essencial
u(0)=0.
Vou usar a relação óbvia (padrão neste tipo de problema) de que o deslocamento na extremidade livre é o valor de u em x=l, ou seja
\delta = u(l).
O que o enunciado pede: determinar a primeira variação de \Pi, isto é, calcular \delta\Pi quando fazemos uma pequena variação admissível u\mapsto u+\varepsilon\eta, com \eta admissível (variações que respeitam as condições essenciais).
Passo 2
Definimos a família de funções variadas
u_{\varepsilon}(x)=u(x)+\varepsilon\,\eta(x),
onde \eta(x) é uma função arbitrária suave que respeita a condição do engaste: \eta(0)=0 (porque u(0) é fixo). A variação ponta-livre \eta(l) é livre (não necessariamente zero). A primeira variação de \Pi é a derivada em \varepsilon avaliada em \varepsilon=0:
Substituímos u_{\varepsilon} em \Pi. Primeiro note que \delta depende de u, então para u_{\varepsilon} temos \delta_{\varepsilon}=u_{\varepsilon}(l)=u(l)+\varepsilon\eta(l). Assim
Agora usamos integração por partes para transformar o integral que tem \eta' em um termo de contorno menos um integral com \eta. A fórmula de integração por partes (no intervalo [0,l]) é
Essa é a expressão geral para \delta\Pi válida para qualquer variação admissível \eta com \eta(0)=0. Comentário físico/matemático rápido: se quisermos os campos u que tornam \Pi estacionária, exigimos \delta\Pi=0 para todo \eta. Como \eta(l) e \eta(x) (no interior) são independentes, isso leva à equação diferencial e à condição de contorno natural: