A energia potencial total de uma barra elástica de comprimento l, engastada em uma extremidade, e solicitada por uma força axial P na outra extremidade livre é:
\Pi=\frac{1}{2} E A \int_{0}^{l}\left(u^{\prime}\right)^{2} d x-P \delta
sendo E, A, u e \delta grandezas já definidas nos outros exercícios. Determinar a primeira variação de \Pi.

Passo 1

O enunciado dá a energia potencial total
\Pi=\frac{1}{2}EA\int_{0}^{l}\bigl(u'(x)\bigr)^{2}\,dx - P\,\delta,
onde E e A são constantes (módulo de Young e área da secção), u(x) é o deslocamento axial ao longo da barra, e \delta é o deslocamento na extremidade livre. Como a barra está engastada em x=0, temos a condição essencial
u(0)=0.
Vou usar a relação óbvia (padrão neste tipo de problema) de que o deslocamento na extremidade livre é o valor de u em x=l, ou seja
\delta = u(l).
O que o enunciado pede: determinar a primeira variação de \Pi, isto é, calcular \delta\Pi quando fazemos uma pequena variação admissível u\mapsto u+\varepsilon\eta, com \eta admissível (variações que respeitam as condições essenciais).

Passo 2

Definimos a família de funções variadas
u_{\varepsilon}(x)=u(x)+\varepsilon\,\eta(x),
onde \eta(x) é uma função arbitrária suave que respeita a condição do engaste: \eta(0)=0 (porque u(0) é fixo). A variação ponta-livre \eta(l) é livre (não necessariamente zero). A primeira variação de \Pi é a derivada em \varepsilon avaliada em \varepsilon=0:
\delta\Pi=\left.\frac{d}{d\varepsilon}\Pi\bigl[u_{\varepsilon}\bigr]\right|_{\varepsilon=0}.

Passo 3

Substituímos u_{\varepsilon} em \Pi. Primeiro note que \delta depende de u, então para u_{\varepsilon} temos \delta_{\varepsilon}=u_{\varepsilon}(l)=u(l)+\varepsilon\eta(l). Assim
\Pi\bigl[u_{\varepsilon}\bigr] =\frac{1}{2}EA\int_{0}^{l}\bigl(u'(x)+\varepsilon\eta'(x)\bigr)^{2}\,dx - P\bigl(u(l)+\varepsilon\eta(l)\bigr).
Expandindo o quadrado dentro da integral:
\bigl(u'+\varepsilon\eta'\bigr)^{2}=u'^{2}+2\varepsilon u'\eta' + \varepsilon^{2}\eta'^{2}.

Passo 4

Agora derivamos em relação a \varepsilon e avaliamos em \varepsilon=0. A derivada do termo com \varepsilon^{2} some em \varepsilon=0. Obtemos
\delta\Pi = \left.\frac{d}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon=0} \left[ \frac{1}{2}EA\int_{0}^{l}\bigl(u'^{2}+2\varepsilon u'\eta' + \varepsilon^{2}\eta'^{2}\bigr)\,dx - P\bigl(u(l)+\varepsilon\eta(l)\bigr) \right]
= \frac{1}{2}EA\int_{0}^{l}2 u'\eta'\,dx - P\,\eta(l).
Simplificando o fator 2 no integral:
\delta\Pi = EA\int_{0}^{l} u'(x)\,\eta'(x)\,dx - P\,\eta(l).

Passo 5

Agora usamos integração por partes para transformar o integral que tem \eta' em um termo de contorno menos um integral com \eta. A fórmula de integração por partes (no intervalo [0,l]) é
\int_{0}^{l} f'(x) g(x)\,dx = \bigl[f(x)g(x)\bigr]_{0}^{l} - \int_{0}^{l} f(x) g'(x)\,dx.
Tomamos f(x)=u'(x) e g(x)=\eta(x). Então f'(x)=u''(x) e g'(x)=\eta'(x). Reescrevendo o integral:
\int_{0}^{l} u'(x)\,\eta'(x)\,dx = \bigl[u'(x)\,\eta(x)\bigr]_{0}^{l} - \int_{0}^{l} u''(x)\,\eta(x)\,dx.

Passo 6

Substituímos essa identidade em \delta\Pi:
\delta\Pi = EA\left(\bigl[u'(x)\,\eta(x)\bigr]_{0}^{l} - \int_{0}^{l} u''(x)\,\eta(x)\,dx\right) - P\,\eta(l).
Avaliamo o termo de contorno. Como \eta(0)=0 (variação nula no engaste), o termo em x=0 desaparece, sobrando apenas o termo em x=l:
\bigl[u'(x)\,\eta(x)\bigr]_{0}^{l} = u'(l)\,\eta(l) - u'(0)\,\eta(0) = u'(l)\,\eta(l).
Portanto
\delta\Pi = EA\,u'(l)\,\eta(l) - EA\int_{0}^{l} u''(x)\,\eta(x)\,dx - P\,\eta(l).

Passo 7

Agrupando o termo de contorno que contém \eta(l), obtemos a forma final da primeira variação:
\delta\Pi = \bigl(EA\,u'(l)-P\bigr)\,\eta(l) - EA\int_{0}^{l} u''(x)\,\eta(x)\,dx.
Essa é a expressão geral para \delta\Pi válida para qualquer variação admissível \eta com \eta(0)=0. Comentário físico/matemático rápido: se quisermos os campos u que tornam \Pi estacionária, exigimos \delta\Pi=0 para todo \eta. Como \eta(l) e \eta(x) (no interior) são independentes, isso leva à equação diferencial e à condição de contorno natural:
EA\,u''(x)=0\quad\text{em }(0,l),\qquad EA\,u'(l)=P.

Resposta

\delta\Pi = EA\int_{0}^{l} u'(x)\,\eta'(x)\,dx - P\,\eta(l) = \bigl(EA\,u'(l)-P\bigr)\,\eta(l) - EA\int_{0}^{l} u''(x)\,\eta(x)\,dx.

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