Resolver o PVI \left\{\begin{array}{l}y_{1}^{\prime}+y_{1}=0 \\\ y_{1}(0)=1\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
\begin{cases} y_{1}^{\prime}+y_{1}=0,\\[4pt] y_{1}(0)=1. \end{cases}
Informações dadas:
  • A equação diferencial é de primeira ordem e linear: y_{1}^{\prime}+y_{1}=0.
  • A condição inicial é y_{1}(0)=1.
  • A incógnita é a função y_{1} dependente de uma variável independente (vou chamar essa variável de x).]

Passo 2

Escolhendo o método: aqui a equação é muito simples e pode ser resolvida por separação de variáveis de forma direta. Vou explicar essa técnica passo a passo porque é a mais prática nesse caso. (Observação rápida: também daria para usar fator integrante, mas separação é mais curta aqui.)

Passo 3

Escrevendo a derivada explicitamente: substituir y_{1}^{\prime} por \dfrac{dy_{1}}{dx}. A equação fica
\frac{dy_{1}}{dx}+y_{1}=0.
Isolar o termo em \dfrac{dy_{1}}{dx}:
\frac{dy_{1}}{dx}=-y_{1}.

Passo 4

Separar as variáveis: colocar todos os termos com y_{1} no lado esquerdo e o dx no direito:
\frac{1}{y_{1}}\,dy_{1}=-1\,dx.
Aqui fazemos uma divisão formal por y_{1}. Isso exige atenção se y_{1}=0, mas a solução geral que obteremos inclui o caso y_{1}\equiv0 quando a constante for zero; além disso, a condição inicial y_{1}(0)=1 garante que no nosso caso particular y_{1} não é zero no ponto inicial, então a separação é legítima.

Passo 5

Integrar ambos os lados: integrar em y_{1} à esquerda e em x à direita:
\int \frac{1}{y_{1}}\,dy_{1}=\int -1\,dx.
As integrais dão
\ln|y_{1}|=-x+C,
onde C é a constante de integração. Explicando: \int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+ \text{constante}.

Passo 6

Isolar y_{1}: exponenciando ambos os lados obtemos
|y_{1}|=e^{-x+C}=e^{C}e^{-x}.
Definindo uma constante real C_{1}= \pm e^{C} (ou simplesmente C_{1}\in\mathbb{R}), escrevemos a solução geral
y_{1}(x)=C_{1}e^{-x},
onde C_{1} é uma constante real qualquer. Observação didática: passar de \ln|y_{1}| para y_{1} introduz a constante multiplicativa C_{1}, que pode ser positiva, negativa ou zero.

Passo 7

Aplicar a condição inicial y_{1}(0)=1: substituir x=0 na solução geral:
y_{1}(0)=C_{1}e^{0}=C_{1}=1.
Logo C_{1}=1.

Passo 8

Concluir a solução particular do PVI: com C_{1}=1 obtemos
y_{1}(x)=e^{-x}.

Passo 9

Verificação rápida (sempre bom checar na prova): derivando y_{1} temos y_{1}^{\prime}(x)=-e^{-x}. Então
y_{1}^{\prime}(x)+y_{1}(x)=-e^{-x}+e^{-x}=0,
e y_{1}(0)=e^{0}=1. Portanto a função encontrada satisfaz a equação e a condição inicial.

Passo 10

Comentário útil para prova (dica de memorização e confiança): para equações do tipo \;y'+a\,y=0\; com constante a, a solução geral é y(x)=C e^{-ax}. Aqui a=1, então basta lembrar isso para resolver muito rápido. Respire fundo — você consegue!

Resposta

y_{1}(x)=e^{-x}

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