Resolver o PVI
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
Informações dadas:
- A equação diferencial é de primeira ordem e linear:
. - A condição inicial é
. - A incógnita é a função
dependente de uma variável independente (vou chamar essa variável de ).]
Passo 2
Escolhendo o método: aqui a equação é muito simples e pode ser resolvida por separação de variáveis de forma direta. Vou explicar essa técnica passo a passo porque é a mais prática nesse caso. (Observação rápida: também daria para usar fator integrante, mas separação é mais curta aqui.)
Passo 3
Escrevendo a derivada explicitamente: substituir
por
. A equação fica
Isolar o termo em
:
Passo 4
Separar as variáveis: colocar todos os termos com
no lado esquerdo e o
no direito:
Aqui fazemos uma divisão formal por
. Isso exige atenção se
, mas a solução geral que obteremos inclui o caso
quando a constante for zero; além disso, a condição inicial
garante que no nosso caso particular
não é zero no ponto inicial, então a separação é legítima.
Passo 5
Integrar ambos os lados: integrar em
à esquerda e em
à direita:
As integrais dão
onde
é a constante de integração. Explicando:
.
Passo 6
Isolar
: exponenciando ambos os lados obtemos
Definindo uma constante real
(ou simplesmente
), escrevemos a solução geral
onde
é uma constante real qualquer. Observação didática: passar de
para
introduz a constante multiplicativa
, que pode ser positiva, negativa ou zero.
Passo 7
Aplicar a condição inicial
: substituir
na solução geral:
Logo
.
Passo 8
Concluir a solução particular do PVI: com
obtemos
Passo 9
Verificação rápida (sempre bom checar na prova): derivando
temos
. Então
e
. Portanto a função encontrada satisfaz a equação e a condição inicial.
Passo 10
Comentário útil para prova (dica de memorização e confiança): para equações do tipo
com constante
, a solução geral é
. Aqui
, então basta lembrar isso para resolver muito rápido. Respire fundo — você consegue!