(10 pontos) Questão 5: Considere g(x)=cc2-x & se 2 <= x <= 3 x-4 & se 3<x<4 4 & se x >= 4
a) Para x=3, g é contínua à esquerda, à direita ou contínua no número.
b) Para x=4, g é contínua à esquerda, à direita ou contínua no número.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
g(x) = 2 - x, & 2 <= x <= 3, x - 4, & 3 < x < 4, 4, & x >= 4
e pede para verificar, em x=3 e em x=4, se g é contínua à esquerda, à direita ou contínua no ponto. Para isso vamos calcular os limites laterais e comparar com o valor de g nesses pontos, usando que
g é contínua em a se limxto a^-g(x)=limxto a^+g(x)=g(a),
– é contínua à esquerda em a se limxto a^-g(x)=g(a),
– é contínua à direita em a se limxto a^+g(x)=g(a).

Passo 2

Analisando x=3:
– Para xto3^- usamos o ramo 2<= x<=3,
limxto3^-g(x)=limxto3^-(2-x)=2-3=-1
– Para xto3^+ usamos o ramo 3<x<4,
limxto3^+g(x)=limxto3^+(x-4)=3-4=-1
– O valor g(3) vem do primeiro caso:
g(3)=2-3=-1
Como limxto3^-g(x)=limxto3^+g(x)=g(3)=-1, g é contínua em x=3.

Passo 3

Analisando x=4:
– Para xto4^- usamos o ramo 3<x<4,
limxto4^-g(x)=limxto4^-(x-4)=4-4=0
– Para xto4^+ e para x=4 usamos o ramo x>=4,
limxto4^+g(x)=4, g(4)=4
Aqui limxto4^-g(x)=0neq g(4)=4, mas limxto4^+g(x)=g(4). Logo, g não é contínua pela esquerda em x=4, mas é contínua pela direita.

Resposta

a) Em x=3, g é contínua no ponto.
b) Em x=4, g é contínua apenas pela direita.

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