(10 pontos) Resolva:
,
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO linear de 2ª ordem
com forçamento em escada
O conteúdo é equações diferenciais lineares não homogêneas e vamos usar solução homogênea + método da convolução (função de Green).
Passo 2
Primeiro achamos a solução homogênea de
A equação característica é
, com raízes
. Logo
Impondo
[y_h(t)=\tfrac12(et+e{-t})=\cosh t.$$
Passo 3
Para a parte particular usamos a forma de convolução com o núcleo da equação:
pois
é a função resposta de
.
Passo 4
Para
temos
em
. Logo
$$y(t)=y_h(t)=\cosh t,
\quad 0\le t<\pi.$$
Passo 5
Para
, a integral se torna
Fazendo a decomposição
e integrando term a term por partes ou usando fórmulas de
, chega-se a
$$y_p(t)=-\tfrac12\sin t-\tfrac12\sinh(t-\pi).
$$
Então
Então
$$y(t)=\cosh t-\tfrac12\sin t-\tfrac12\sinh(t-\pi),
\quad t\ge\pi.$$
Passo 6
Conferimos que em
as duas expressões coincidem e a derivada também não tem salto. Assim a solução final é contínua e satisfaz as condições iniciais e a EDO em cada ramo.