(10 pontos) Resolva: y^prime prime-y=g(t), y(0)=1, y^prime(0)=0,
g(t)= 0 & para 0 <= t= pi

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de 2ª ordem
y''-y=g(t), y(0)=1, y'(0)=0,
com forçamento em escada
O conteúdo é equações diferenciais lineares não homogêneas e vamos usar solução homogênea + método da convolução (função de Green).

Passo 2

Primeiro achamos a solução homogênea de
y''-y=0
A equação característica é r^2-1=0, com raízes r=pm1. Logo
yh=C1e^t+C2e^-t
Impondo y(0)=1 e y'(0)=0 obtemos
C1+C2=1, C1-C2=0$$4pt]Logo 4pt]Logo $C1=C2=tfrac12$ e [yh(t)=tfrac12(e^t+e^-t)=cosh t e
[y_h(t)=\tfrac12(et+e{-t})=\cosh t.$$

Passo 3

Para a parte particular usamos a forma de convolução com o núcleo da equação:
yp(t)= integral0^tsinhl(t-taur),g(tau),dtau,
pois sinh t é a função resposta de y''-y=de.

Passo 4

Para 0<= t temos g(tau)=0 em [0,t]. Logo
$$y(t)=y_h(t)=\cosh t,
\quad 0\le t<\pi.$$

Passo 5

Para t>=pi, a integral se torna
yp(t)= integralpi^tsinhl(t-taur)sintau,dtau
Fazendo a decomposição sinh(t-tau)=(e^t-tau-e^-(t-tau))/2 e integrando term a term por partes ou usando fórmulas de integral e^atausintau,dtau, chega-se a
$$y_p(t)=-\tfrac12\sin t-\tfrac12\sinh(t-\pi).
$$
Então
$$y(t)=\cosh t-\tfrac12\sin t-\tfrac12\sinh(t-\pi),
\quad t\ge\pi.$$

Passo 6

Conferimos que em t=pi as duas expressões coincidem e a derivada também não tem salto. Assim a solução final é contínua e satisfaz as condições iniciais e a EDO em cada ramo.

Resposta

Exercícios relacionados