(2,0) Determine a aproximação linear da função f(x, y, z)=raizx^2+y^2+z^2 em (3,2,6) e use-a para aproximar o número raiz(3.02)^2+(1.97)^2+(5.99)^2.

Passo 1

Primeiro, a gente vê que precisa da aproximação linear de f(x,y,z)=raizx^2+y^2+z^2 em (3,2,6) e depois usar isso pra aproximar raiz(3.02)^2+(1.97)^2+(5.99)^2. A ideia é usar o gradiente e a fórmula de linearização.

Passo 2

Para isso, calculamos o gradiente de f, ou seja, as derivadas parciais: partial fpartial x=xraizx^2+y^2+z^2, partial fpartial y=yraizx^2+y^2+z^2 e partial fpartial z=zraizx^2+y^2+z^2.

Passo 3

Agora, avaliamos esse gradiente em (3,2,6). Como raiz3^2+2^2+6^2=7, temos nabla f(3,2,6)=l(tfrac37,tfrac27,tfrac67r). Além disso, f(3,2,6)=7.

Passo 4

Com esses valores, montamos a aproximação linear L(x,y,z):
L(x,y,z)=7+37(x-3)+27(y-2)+67(z-6)

Passo 5

Pra estimar raiz(3.02)^2+(1.97)^2+(5.99)^2, definimos De, De, De e substituímos em L:
Lapprox7+37cdot0.02+27cdot(-0.03)+67cdot(-0.01)

Passo 6

Basta calcular: o numerador é 3cdot0.02+2cdot(-0.03)+6cdot(-0.01)=-0.06, então -0.06/7approx-0.0085714. Logo a aproximação fica 7-0.0085714approx6.9914286.

Resposta

6.9914286 (aproximadamente)

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