Considere f(t)=4 de, definida para t >= 0.
(b) (6 pontos) Resolva: y^prime prime=f(t), y(0)=1, y^prime(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de segunda ordem com forçante impulsiva e degrau
f(t)=4δ(t−1)+u(t−2)·t
sujeita a y(0)=1 e y′(0)=1. Vamos usar integração em trechos, tratar o salto de y′ pela propriedade da δ e depois o início de f em t=2.

Passo 2

Para 0≤t<1 temos f(t)=0 e, portanto, y′′=0. Integrando uma vez e usando y′(0)=1 obtemos y′(t)=1. Integrando de novo com y(0)=1 resulta em
y(t)=1+t

Passo 3

No ponto t=1 aparece o impulso 4δ(t−1). Isso causa um salto em y′ dado por
y(1^+)−y(1^−)=integral1^-^1^+4δ(t−1),dt=4
Como y′(1^−)=1, segue y′(1^+)=5. A função y permanece contínua, e y(1)=1+1=2.

Passo 4

Para 1<t<2 ainda vale f(t)=0, logo y′′=0. Como y′(1^+)=5, temos y′(t)=5 e, integrando de t=1 até t,
y(t)=y(1)+5(t−1)=2+5(t−1)=5t−3

Passo 5

Para t≥2 a forçante é f(t)=t, isto é, y′′=t. Integramos de 2 até t usando y′(2^−)=5:
y(t)=integral2^t s,ds +5=tfract^22-2+5=tfract^22+3
Em seguida integramos de 2 até t usando y(2)=5·2−3=7:
y(t)=7+integral2^tl(tfracs^22+3r),ds=7+l[tfracs^36+3sr]2^t=tfract^36+3t-tfrac13

Resposta

y(t)= 1+t,&0<= t<1,5t-3,&1<= t<2,tfract^36+3t-tfrac13,&t>=2

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