Considere
, definida para
.
(b) (6 pontos) Resolva:
.
(b) (6 pontos) Resolva:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de segunda ordem com forçante impulsiva e degrau
f(t)=4δ(t−1)+u(t−2)·t
sujeita a y(0)=1 e y′(0)=1. Vamos usar integração em trechos, tratar o salto de y′ pela propriedade da δ e depois o início de f em t=2.
f(t)=4δ(t−1)+u(t−2)·t
sujeita a y(0)=1 e y′(0)=1. Vamos usar integração em trechos, tratar o salto de y′ pela propriedade da δ e depois o início de f em t=2.
Passo 2
Para 0≤t<1 temos f(t)=0 e, portanto, y′′=0. Integrando uma vez e usando y′(0)=1 obtemos y′(t)=1. Integrando de novo com y(0)=1 resulta em
Passo 3
No ponto t=1 aparece o impulso 4δ(t−1). Isso causa um salto em y′ dado por
Como y′(1^−)=1, segue y′(1^+)=5. A função y permanece contínua, e y(1)=1+1=2.
Passo 4
Para 1<t<2 ainda vale f(t)=0, logo y′′=0. Como y′(1^+)=5, temos y′(t)=5 e, integrando de t=1 até t,
Passo 5
Para t≥2 a forçante é f(t)=t, isto é, y′′=t. Integramos de 2 até t usando y′(2^−)=5:
Em seguida integramos de 2 até t usando y(2)=5·2−3=7:
Resposta
y(t)=