- Uma prancha uniforme, com um comprimento
e um peso de
, repousa apoiada no chão e em um rolamento sem atrito no alto de uma parede de altura
, figura 10. A prancha permanece em equilíbrio para qualquer valor de
. Determine o coeficiente de atrito estático entre a prancha e o chão.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma prancha uniforme que tem 6,10 metros de comprimento e pesa 445 N. Ela está apoiada no chão e também em um rolamento no alto de uma parede que tem 3,05 metros de altura. A prancha fica estável enquanto o ângulo θ for menor que 70 graus. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o coeficiente de atrito estático entre a prancha e o chão. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equilíbrio de forças e momentos, além de entender como o atrito funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um diagrama livre de corpo para visualizar as forças agindo na prancha. Temos:
- Peso §: 445 N, agindo no centro da prancha.
- Força Normal (N): A força que o chão exerce para cima na prancha.
- Força de Atrito (f): A força que impede a prancha de deslizar, atuando horizontalmente no chão.
- Reação no Rolamento: Como o rolamento é sem atrito, ele só exerce uma força vertical (vamos chamar de R).
Passo 3
Como a prancha está em equilíbrio, a soma das forças na horizontal e na vertical deve ser zero, e a soma dos momentos também deve ser zero. Vamos escrever essas equações:
-
Equilíbrio Vertical:
-
Equilíbrio Horizontal:
-
Equilíbrio de Momentos:
Vamos calcular os momentos em relação ao ponto onde a prancha toca o chão para eliminar a força normal N e a força de atrito f, que atuam nesse ponto.
Passo 4
Escolhemos o ponto de apoio no chão para calcular os momentos porque isso simplifica os cálculos. O momento é dado pela força multiplicada pela distância perpendicular ao ponto de rotação.
-
Momento devido ao Peso:
O peso P atua no centro da prancha, que está a uma distânciado ponto de apoio. -
Momento devido à Reação no Rolamento:
A reação R atua no topo da parede, que está a uma distânciado chão. A distância horizontal é , então o momento é:
Para equilíbrio:
Passo 5
Vamos resolver para R:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, voltando à equação de equilíbrio vertical:
Passo 7
O atrito estático máximo que impede a prancha de deslizar é dado por:
No ponto de equilíbrio, o atrito necessário é igual à componente horizontal das forças. Mas como o rolamento é sem atrito, toda a força horizontal vem do atrito.
Sabemos que no ângulo crítico θ = 70°, a tendência é que a prancha comece a deslizar, então:
Passo 8
Substituindo os valores:
Resposta
O coeficiente de atrito estático entre a prancha e o chão é aproximadamente 1,43.