Ignore a resistência do ar e considere
na superficie da Terra. Sua resposta deve ser semanticamente consistente; explicite equações e demonstrações. Para obter algum valor numérico, explicite a equação simbólica utilizada, os valores substituidos e as unidades. Use a folha de fespostas com caneta esferografica azul ou preta.
2,0
) Um cachorro corre por um jardim de forma que os componentes x e y de seu deslocamento como função do tempo são dados por
e
. (Tanto
quanto y estão em metros e t está em segundos). (a) Calcule a posição do coelho (módulo e orientação) em
ponto); (b) Calcule o módulo da velocidade do coelho em
ponto); © Determine o vetor aceleração (módulo e orientação)
. ( 1,0 ponto)
2,0
Passo 1
O enunciado pede para calcular a posição, a velocidade e a aceleração de um cachorro em um jardim, considerando suas funções de deslocamento nas direções x e y em função do tempo. Vamos precisar usar conceitos de cinemática, como derivadas para encontrar velocidade e aceleração, além de fórmulas de módulo e ângulo para determinar a orientação.
Passo 2
Parte a) Queremos encontrar a posição do cachorro no tempo
segundos, tanto o módulo (distância) quanto a orientação (ângulo em relação ao eixo x).
Primeiro, vamos calcular as posições nas direções x e y usando as equações fornecidas:
Substituindo
s:
Passo 3
Agora, para encontrar o módulo da posição, usamos o teorema de Pitágoras:
Para encontrar a orientação (ângulo
em relação ao eixo x), usamos a tangente:
Calculando:
Como o x é negativo e o y é positivo, o ângulo está no segundo quadrante. Portanto, adicionamos 180°:
Passo 4
Parte b) Para encontrar o módulo da velocidade no tempo
s, precisamos primeiro encontrar as componentes da velocidade, que são as derivadas das funções de posição em relação ao tempo.
Derivando
:
Derivando
:
Substituindo
s:
Agora, calculamos o módulo da velocidade:
Passo 5
Parte c) Para determinar o vetor aceleração no tempo
s, precisamos encontrar as derivadas das velocidades em relação ao tempo, ou seja, as segundas derivadas das funções de posição.
Derivando
:
Derivando
:
Portanto, o vetor aceleração é:
Calculando o módulo da aceleração:
Para a orientação, calculamos o ângulo:
Como
é negativo e
é positivo, o ângulo está no segundo quadrante:
Resposta
a) A posição do cachorro em
s é de aproximadamente 174,2 metros com uma orientação de 119,2° em relação ao eixo x.
b) O módulo da velocidade do cachorro em
s é aproximadamente 21,77 m/s.
c) O vetor aceleração do cachorro em
s tem um módulo de aproximadamente 1,14 m/s² e uma orientação de 142,5° em relação ao eixo x.