Três dimensões. Três partículas pontuais são mantidas fixas em um sistema de coordenadas xyz. A partícula
, na origem, tem massa
. A partícula
, nas coordenadas (
), tem massa
e a partícula
, nas coordenadas (
) tem massa
. Uma quarta partícula
, de massa
, pode ser colocada nas proximidades das outras partículas. Em termos da distância
, em que coordenada
a partícula
deve ser colocada para que a força gravitacional exercida pelas partículas
e
sobre a partícula
seja nula?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três partículas fixas no espaço tridimensional: a partícula
na origem com massa
, a partícula
nas coordenadas
com massa
, e a partícula
nas coordenadas
com massa
. Queremos encontrar a coordenada
onde colocar uma quarta partícula
, de massa
, de forma que a força gravitacional total exercida por
,
e
sobre
seja nula. Para resolver isso, vamos usar a Lei da Gravitação Universal de Newton, que nos permite calcular a força gravitacional entre duas massas.
Passo 2
Vamos relembrar a fórmula da força gravitacional:
onde:
-
é a força gravitacional entre as duas massas, -
é a constante gravitacional, -
e são as massas das partículas, -
é a distância entre os centros das duas massas.
Como queremos que a força resultante em
seja nula, a soma das forças exercidas por
,
e
sobre
deve ser igual a zero.
Passo 3
Vamos começar calculando as distâncias entre
e cada uma das partículas
,
e
. Como
será colocado em uma posição que varia somente na coordenada
, vamos assumir que suas coordenadas são
para simplificar.
A distância entre dois pontos
e
no espaço é dada por:
Passo 4
Calculando as distâncias:
- Entre
e :
- Entre
e :
- Entre
e (com em ):
Passo 5
Agora, vamos calcular as forças gravitacionais exercidas por
,
e
sobre
:
- Força exercida por
sobre :
- Força exercida por
sobre :
- Força exercida por
sobre :
Passo 6
Como as forças precisam se anular, a soma vetorial dessas forças deve ser zero. Considerando que as partículas
e
estão em posições fixas e
está sendo ajustada apenas na coordenada
, podemos considerar que as forças exercidas por
e
têm componentes que se cancelam parcialmente, mas para simplificar, assumiremos que
precisa compensar a força resultante das forças de
e
sobre
.
Portanto:
Substituindo as forças:
Passo 7
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
Somando os termos do lado esquerdo:
Passo 8
Resolvendo para
:
Então, tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Simplificando a fração:
Passo 9
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por
:
Resposta
A partícula
deve ser colocada na coordenada
para que a força gravitacional total sobre a partícula
seja nula.