10- Um processo de separação molecular baseado em exclusão por tamanho está sendo desenvolvido para purificar uma mistura de proteínas dissolvidas em solução aquosa a 20^{\circ} \mathrm{C}. A solução é diluída e se aproxima das propriedades da água, que tem uma viscosidade de 1,0 \mathrm{cP} a 20^{\circ} \mathrm{C}. Uma proteína de interesse (proteína A) é esférica com um diâmetro molecular médio de 25 nm . Deseja-se projetar uma membrana porosa que tenha um coeficiente de partição estérica de no máximo 0,64 para essa proteína - ou seja, F_{1}(\varphi)=0,64.
a. Estime o coeficiente de difusão molecular da proteína A dissolvida em solução a 20^{\circ} \mathrm{C}.
b. Qual é o coeficiente de difusão efetivo da proteína A dentro de um único material de membrana cilíndrico desejado?
c. Qual deve ser o diâmetro do poro para que todas as proteínas, exceto a proteína A, sejam “excluídas” da membrana?

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a proteína A, que é aproximadamente esférica com diâmetro médio de 25\,\mathrm{nm} em água a 20^\circ\mathrm{C} \eta=1{,}0\times10^{-3}\,\mathrm{Pa\cdot s}.
  1. Calcular o coeficiente de difusão molecular D no bulk usando a equação de Stokes–Einstein.
  2. Obter o coeficiente de difusão efetivo D_{\mathrm{eff}} dentro de um poro cilíndrico, lembrando que o fator de partição estérica vale F_{1}=0{,}64.
  3. Determinar o diâmetro do poro d_{\mathrm{poro}} que garanta exatamente F_{1}=0{,}64 para a proteína A, usando a relação F_{1}=(1-\lambda)^{2} com \lambda=d_{\mathrm{prot}}/d_{\mathrm{poro}}.

Passo 2

Para a difusão molecular em solução diluída, a equação de Stokes–Einstein é
D = \frac{k_{B}\,T}{6\pi\,\eta\,R}
onde k_{B}=1{,}38\times10^{-23}\,\mathrm{J/K}, T=293\,\mathrm{K}, \eta=1{,}0\times10^{-3}\,\mathrm{Pa\cdot s} e o raio da proteína é R=\tfrac{25\,\mathrm{nm}}{2}=12{,}5\times10^{-9}\,\mathrm{m}.
Substituindo,
D = \frac{1{,}38\times10^{-23}\times293}{6\pi\times1{,}0\times10^{-3}\times12{,}5\times10^{-9}} \approx 1{,}7\times10^{-11}\,\mathrm{m^{2}/s}.

Passo 3

Dentro do poro cilíndrico, a difusão efetiva é reduzida pelo fator estérico F_{1}. Assim,
D_{\mathrm{eff}} = F_{1}\,D = 0{,}64 \times 1{,}7\times10^{-11} \approx 1{,}1\times10^{-11}\,\mathrm{m^{2}/s}.

Passo 4

Para obter F_{1}=0{,}64 usa-se
F_{1} = (1-\lambda)^{2} = 0{,}64 \quad\Longrightarrow\quad 1-\lambda = 0{,}8 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = 0{,}2,
onde \lambda = d_{\mathrm{prot}}/d_{\mathrm{poro}}. Logo
d_{\mathrm{poro}} = \frac{d_{\mathrm{prot}}}{\lambda} = \frac{25\,\mathrm{nm}}{0{,}2} = 125\,\mathrm{nm}.

Resposta

a) \;D\approx1{,}7\times10^{-11}\,\mathrm{m^{2}/s}.
b) \;D_{\mathrm{eff}}\approx1{,}1\times10^{-11}\,\mathrm{m^{2}/s}.
c) \;d_{\mathrm{poro}}\approx125\,\mathrm{nm}.

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