3.10 Prove each of the following assertions:
The sum of two odd functions is odd.
The sum of two odd functions is odd.
Passo 1
O enunciado pede para provar a seguinte afirmação: “A soma de duas funções ímpares é ímpar.”
Informações dadas (pressupostos necessários):
Informações dadas (pressupostos necessários):
- Existem duas funções
e definidas em um mesmo conjunto . - Esse conjunto
é simétrico em relação a zero, ou seja, se então . (Isto é necessário para que as expressões e façam sentido para todo .) - As funções
e são ímpares, ou seja, para todo vale e
A pergunta é: usando só essas informações, mostrar que a função
definida por
também é ímpar.
Passo 2
Lembrando cuidadosamente o que significa “função ímpar” (a definição que vamos usar):
Uma função com domínio simétrico
é ímpar quando, para todo
,
Uma função
Vou aplicar exatamente essa definição à função
. Para provar que
é ímpar preciso mostrar que, para todo
,
Passo 3
Escrevo a definição de
: por definição de soma de funções,
para todo
. Isso vale porque
e
têm o mesmo domínio
.
Passo 4
Agora avalio
em
. Por definição da soma,
Aqui usei apenas a propriedade básica de que a soma de funções é avaliada somando as imagens.
Passo 5
Substituo as hipóteses de que
e
são ímpares, isto é,
e
. Fazendo a substituição na igualdade do Passo 4 obtemos
Expliquei cada substituição:
foi trocado por
e
por
.
Passo 6
Agora uso a propriedade distributiva/associativa da soma em
(ou no conjunto onde as funções tomam valores) para agrupar os termos negativos:
A última igualdade é só fatorar o sinal negativo comum:
.
Passo 7
Reescrevo a expressão final usando a definição de
do Passo 3:
Como essa igualdade vale para todo
, concluímos que, segundo a definição, a função
é ímpar.
Passo 8
Um exemplo concreto para fixar a ideia: tome
e
. Ambas são ímpares porque
e
. A soma é
Verificando:
portanto
é ímpar, conforme a prova geral.
Resposta
A soma de duas funções ímpares é ímpar.