3.10 Prove each of the following assertions:
The sum of two odd functions is odd.

Passo 1

O enunciado pede para provar a seguinte afirmação: “A soma de duas funções ímpares é ímpar.”
Informações dadas (pressupostos necessários):
  • Existem duas funções f e g definidas em um mesmo conjunto D.
  • Esse conjunto D é simétrico em relação a zero, ou seja, se x\in D então -x\in D. (Isto é necessário para que as expressões f(-x) e g(-x) façam sentido para todo x\in D.)
  • As funções f e g são ímpares, ou seja, para todo x\in D vale f(-x) = -f(x)e g(-x) = -g(x).
A pergunta é: usando só essas informações, mostrar que a função f+g definida por (f+g)(x)=f(x)+g(x) também é ímpar.

Passo 2

Lembrando cuidadosamente o que significa “função ímpar” (a definição que vamos usar):
Uma função h com domínio simétrico D é ímpar quando, para todo x\in D,
h(-x) = -h(x).
Vou aplicar exatamente essa definição à função h=f+g. Para provar que f+g é ímpar preciso mostrar que, para todo x\in D,
(f+g)(-x) = -(f+g)(x).

Passo 3

Escrevo a definição de (f+g)(x): por definição de soma de funções,
(f+g)(x) = f(x) + g(x)
para todo x\in D. Isso vale porque f e g têm o mesmo domínio D.

Passo 4

Agora avalio (f+g) em -x. Por definição da soma,
(f+g)(-x) = f(-x) + g(-x).
Aqui usei apenas a propriedade básica de que a soma de funções é avaliada somando as imagens.

Passo 5

Substituo as hipóteses de que f e g são ímpares, isto é, f(-x)=-f(x) e g(-x)=-g(x). Fazendo a substituição na igualdade do Passo 4 obtemos
(f+g)(-x) = -f(x) + (-g(x)).
Expliquei cada substituição: f(-x) foi trocado por -f(x) e g(-x) por -g(x).

Passo 6

Agora uso a propriedade distributiva/associativa da soma em \mathbb{R} (ou no conjunto onde as funções tomam valores) para agrupar os termos negativos:
(f+g)(-x) = -f(x) - g(x) = -(f(x) + g(x)).
A última igualdade é só fatorar o sinal negativo comum: -f(x)-g(x)=-(f(x)+g(x)).

Passo 7

Reescrevo a expressão final usando a definição de (f+g)(x) do Passo 3:
(f+g)(-x) = -(f+g)(x).
Como essa igualdade vale para todo x\in D, concluímos que, segundo a definição, a função f+g é ímpar.

Passo 8

Um exemplo concreto para fixar a ideia: tome f(x)=x^3 e g(x)=\sin x. Ambas são ímpares porque (x^3)(-x)=(-x)^3=-x^3=-(x^3) e \sin(-x) = -\sin x. A soma é
(f+g)(x)=x^3+\sin x.
Verificando:
(f+g)(-x)=(-x)^3+\sin(-x) = -x^3 - \sin x = -(x^3+\sin x) = -(f+g)(x),
portanto f+g é ímpar, conforme a prova geral.

Resposta

A soma de duas funções ímpares é ímpar.

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