Em uma rodoviária, três Onibus partem com destino a outro estado. Suas saidas são organizadas assim:
→ Onibus azul - Partidas de 10 em 10 dias.
→ Ônibus verde - Partidas de 12 em 12 dias.
→ Ônibus cinza - Partidas de 15 em 15 dias.
Se eles partirem juntos hoje, quando partiråo juntos novamente?
→ Ônibus verde - Partidas de 12 em 12 dias.
→ Ônibus cinza - Partidas de 15 em 15 dias.
Se eles partirem juntos hoje, quando partiråo juntos novamente?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (peguei todos os números do enunciado):
- Ônibus azul: partidas de
em dias. - Ônibus verde: partidas de
em dias. - Ônibus cinza: partidas de
em dias.
Pergunta: quando eles partirão juntos novamente, a partir de hoje?
Passo 2
O que significa “partir juntos novamente”? Significa encontrar o menor número de dias após hoje tal que esse número seja múltiplo de
, de
e de
ao mesmo tempo. Esse problema é exatamente achar o mínimo múltiplo comum (MMC, ou em inglês LCM) dos números
,
e
.
Breve explicação do conceito (sem pressa): o MMC de um conjunto de inteiros positivos é o menor inteiro positivo que é múltiplo de todos eles. Um múltiplo de um número
é um número que pode ser escrito como
vezes um inteiro. Ex.: múltiplos de
são
Passo 3
Método que vou usar: fatorização em primos. Por que? Porque é simples, sistemático e rápido para números pequenos: fatora-se cada número como produto de primos e o MMC é obtido pegando cada primo na maior potência em que aparece entre as fatorações.
Explicando com calma: se um número
tem fatoração em primos
, e outro
, então o MMC de
e
é
. Para três ou mais números é a mesma ideia.
Passo 4
Fatoração em primos dos três números (passo a passo, sem pular):
-
. -
. -
.
Aqui expliquei cada fator:
,
e
são primos e aparecem com expoentes conforme escrito.
Passo 5
Agora aplico a regra do MMC: pego cada primo com o maior expoente que aparece nas fatorações:
- Primo
: aparece com maior expoente (em temos ), então usamos . - Primo
: maior expoente é (aparece em e como ), então usamos . - Primo
: maior expoente é (aparece em e como ), então usamos .
Portanto o MMC é
Passo 6
Faço as contas finais, explicando cada multiplicação:
Logo
.
Passo 7
Verificação rápida (pra ficar tranquilo):
(inteiro),
(inteiro),
(inteiro). Então
é múltiplo de todos e é o menor com essa propriedade (a fatoração garante isso).
Interpretação final amigável: eles partirão juntos novamente daqui a
dias. Em semanas e dias, isso é
ou seja,
semanas e
dias.
Resposta
Daqui a
dias.