Em uma rodoviária, três Onibus partem com destino a outro estado. Suas saidas são organizadas assim:
→ Onibus azul - Partidas de 10 em 10 dias.
→ Ônibus verde - Partidas de 12 em 12 dias.
→ Ônibus cinza - Partidas de 15 em 15 dias.
Se eles partirem juntos hoje, quando partiråo juntos novamente?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (peguei todos os números do enunciado):
  • Ônibus azul: partidas de \,10 em \,10 dias.
  • Ônibus verde: partidas de \,12 em \,12 dias.
  • Ônibus cinza: partidas de \,15 em \,15 dias.
    Pergunta: quando eles partirão juntos novamente, a partir de hoje?

Passo 2

O que significa “partir juntos novamente”? Significa encontrar o menor número de dias após hoje tal que esse número seja múltiplo de \,10, de \,12 e de \,15 ao mesmo tempo. Esse problema é exatamente achar o mínimo múltiplo comum (MMC, ou em inglês LCM) dos números \,10, \,12 e \,15.
Breve explicação do conceito (sem pressa): o MMC de um conjunto de inteiros positivos é o menor inteiro positivo que é múltiplo de todos eles. Um múltiplo de um número a é um número que pode ser escrito como a vezes um inteiro. Ex.: múltiplos de \,10 são \,10,20,30,\dots

Passo 3

Método que vou usar: fatorização em primos. Por que? Porque é simples, sistemático e rápido para números pequenos: fatora-se cada número como produto de primos e o MMC é obtido pegando cada primo na maior potência em que aparece entre as fatorações.
Explicando com calma: se um número n tem fatoração em primos \,n=\prod p_i^{\alpha_i}, e outro m=\prod p_i^{\beta_i}, então o MMC de n e m é \prod p_i^{\max(\alpha_i,\beta_i)}. Para três ou mais números é a mesma ideia.

Passo 4

Fatoração em primos dos três números (passo a passo, sem pular):
  • \,10 = 2 \cdot 5.
  • \,12 = 2^2 \cdot 3.
  • \,15 = 3 \cdot 5.
Aqui expliquei cada fator: \,2, \,3 e \,5 são primos e aparecem com expoentes conforme escrito.

Passo 5

Agora aplico a regra do MMC: pego cada primo com o maior expoente que aparece nas fatorações:
  • Primo 2: aparece com maior expoente \,2 (em \,12 temos 2^2), então usamos 2^2.
  • Primo 3: maior expoente é \,1 (aparece em \,12 e \,15 como 3^1), então usamos 3^1.
  • Primo 5: maior expoente é \,1 (aparece em \,10 e \,15 como 5^1), então usamos 5^1.
Portanto o MMC é
\text{MMC} = 2^2 \cdot 3 \cdot 5.

Passo 6

Faço as contas finais, explicando cada multiplicação:
2^2 = 4,
4 \cdot 3 = 12,
12 \cdot 5 = 60.
Logo \text{MMC}(10,12,15)=60.

Passo 7

Verificação rápida (pra ficar tranquilo): \dfrac{60}{10}=6 (inteiro), \dfrac{60}{12}=5 (inteiro), \dfrac{60}{15}=4 (inteiro). Então \,60 é múltiplo de todos e é o menor com essa propriedade (a fatoração garante isso).
Interpretação final amigável: eles partirão juntos novamente daqui a \,60 dias. Em semanas e dias, isso é
60 = 8\cdot 7 + 4,
ou seja, \,8 semanas e \,4 dias.

Resposta

Daqui a 60 dias.

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