3.10 Prove each of the following assertions:
The sum of two even functions is even.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: duas funções f e g que são pares.
  • Pedido: provar que a função soma f+g é par.

Passo 2

Definição (explicada devagarinho): uma função h é chamada de par se, para todo x do domínio de h, vale
h(-x)=h(x).
Além disso, implícito nessa definição está que o domínio de h é simétrico em relação a 0, ou seja, se x pertence ao domínio então -x também pertence ao domínio. Vou usar essa definição passo a passo.

Passo 3

Formalizando os dados com notação de domínio:
  • Seja D_f o domínio de f e D_g o domínio de g.
  • Como f e g são pares, temos, para todo x\in D_f, f(-x)=f(x), e para todo x\in D_g, g(-x)=g(x).
  • O domínio natural da soma f+g é D = D_f\cap D_g (ponto importante: só podemos somar onde ambas estão definidas).

Passo 4

Mostrar que f+g é par exige duas coisas:
  1. o domínio D é simétrico (ou seja, se x\in D então -x\in D);
  2. para todo x\in D vale (f+g)(-x)=(f+g)(x).
Provo a propriedade 1): se x\in D então x\in D_f e x\in D_g. Como f e g são pares, os domínios D_f e D_g são simétricos; portanto -x\in D_f e -x\in D_g. Assim -x\in D_f\cap D_g=D. Logo D é simétrico.

Passo 5

Agora a propriedade 2), cálculo direto (a parte chave, super simples): pegue um x\in D. Então x\in D_f e x\in D_g, e também -x\in D_f e -x\in D_g pela propriedade anterior. Calcula-se:
(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x).
Como f e g são pares, substitui-se f(-x)=f(x) e g(-x)=g(x). Assim
(f+g)(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x).
Isso vale para todo x\in D.

Passo 6

Conclusão: mostramos que o domínio de f+g é simétrico e que, para todo x nesse domínio, (f+g)(-x)=(f+g)(x). Portanto f+g é uma função par.

Resposta

Se f e g são pares, então f+g é par.

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