3.10 Prove each of the following assertions:
The sum of two even functions is even.
The sum of two even functions is even.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado: duas funções
e que são pares. - Pedido: provar que a função soma
é par.
Passo 2
Definição (explicada devagarinho): uma função
é chamada de par se, para todo
do domínio de
, vale
Além disso, implícito nessa definição está que o domínio de
é simétrico em relação a
, ou seja, se
pertence ao domínio então
também pertence ao domínio. Vou usar essa definição passo a passo.
Passo 3
Formalizando os dados com notação de domínio:
- Seja
o domínio de e o domínio de . - Como
e são pares, temos, para todo , , e para todo , . - O domínio natural da soma
é (ponto importante: só podemos somar onde ambas estão definidas).
Passo 4
Mostrar que
é par exige duas coisas:
- o domínio
é simétrico (ou seja, se então ); - para todo
vale .
Provo a propriedade 1): se
então
e
. Como
e
são pares, os domínios
e
são simétricos; portanto
e
. Assim
. Logo
é simétrico.
Passo 5
Agora a propriedade 2), cálculo direto (a parte chave, super simples): pegue um
. Então
e
, e também
e
pela propriedade anterior. Calcula-se:
Como
e
são pares, substitui-se
e
. Assim
Isso vale para todo
.
Passo 6
Conclusão: mostramos que o domínio de
é simétrico e que, para todo
nesse domínio,
. Portanto
é uma função par.
Resposta
Se
e
são pares, então
é par.