3.10 Prove each of the following assertions:
The sum of an even function and an odd function, where neither function is identically zero, is neither even nor odd.

Passo 1

Vamos deixar claro o que o enunciado nos dá e o que pede. As informações fornecidas são:
  • Existe uma função f que é par e não é identicamente zero. Isso significa que, para todo x no domínio, vale
f(-x)=f(x),
e existe algum x tal que f(x)\neq 0.
  • Existe uma função g que é ímpar e não é identicamente zero. Isso significa que, para todo x no domínio, vale
g(-x)=-g(x),
e existe algum x tal que g(x)\neq 0.
O que o enunciado pede: provar que a soma h=f+g não é nem par nem ímpar, ou seja, provar que h não satisfaz h(-x)=h(x) nem h(-x)=-h(x), sob a hipótese de que nem f nem g são a função zero em todo o domínio.

Passo 2

Definições e observações úteis (explicadas):
  • Função par: uma função p é par se, para todo x, p(-x)=p(x). Exemplo: p(x)=x^2.
  • Função ímpar: uma função q é ímpar se, para todo x, q(-x)=-q(x). Exemplo: q(x)=x.
  • A soma de duas funções é definida ponto a ponto: (f+g)(x)=f(x)+g(x).
    Vamos chamar h=f+g. Para analisar se h é par ou ímpar, vamos calcular h(-x) em termos de f e g.

Passo 3

Calcular h(-x) usando as propriedades de paridade de f e g.
h(-x)=(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x).
Como f é par, f(-x)=f(x). Como g é ímpar, g(-x)=-g(x). Substituindo:
h(-x)=f(x)-g(x).

Passo 4

Testar se h pode ser par. A condição para h ser par é h(-x)=h(x) para todo x. Escrevendo isso com a expressão que achamos:
h(-x)=h(x)\quad\Longrightarrow\quad f(x)-g(x)=f(x)+g(x).
Subtraindo f(x) dos dois lados obtemos
-g(x)=g(x),
ou seja
2g(x)=0\quad\Rightarrow\quad g(x)=0\quad\text{para todo }x.
Isto significa que, se h fosse par, então g teria que ser a função zero em todo o domínio. Mas o enunciado afirma que g não é identicamente zero. Logo, sob a hipótese dada, h não pode ser par.

Passo 5

Testar se h pode ser ímpar. A condição para h ser ímpar é h(-x)=-h(x) para todo x. Usando h(-x)=f(x)-g(x) e h(x)=f(x)+g(x):
h(-x)=-h(x)\quad\Longrightarrow\quad f(x)-g(x)= -\bigl(f(x)+g(x)\bigr).
Expandindo o lado direito:
f(x)-g(x)=-f(x)-g(x).
Somando g(x) aos dois lados:
f(x)= -f(x).
Isso dá
2f(x)=0\quad\Rightarrow\quad f(x)=0\quad\text{para todo }x.
Portanto, se h fosse ímpar, então f teria que ser a função zero em todo o domínio. Mas o enunciado afirma que f não é identicamente zero. Logo, sob a hipótese dada, h não pode ser ímpar.

Passo 6

Conclusão final lógica: As únicas maneiras de a soma h=f+g ser par ou ímpar são, respectivamente, g ser identicamente zero (para que h seja par) ou f ser identicamente zero (para que h seja ímpar). Como o enunciado assume que nem f nem g são identicamente zero, nenhuma dessas possibilidades ocorre. Portanto h não é nem par nem ímpar.

Resposta

A soma f+g não é nem função par nem função ímpar.

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