3.10 Prove each of the following assertions:
The sum of an even function and an odd function, where neither function is identically zero, is neither even nor odd.
The sum of an even function and an odd function, where neither function is identically zero, is neither even nor odd.
Passo 1
Vamos deixar claro o que o enunciado nos dá e o que pede. As informações fornecidas são:
- Existe uma função
que é par e não é identicamente zero. Isso significa que, para todo no domínio, vale
e existe algum
tal que
.
- Existe uma função
que é ímpar e não é identicamente zero. Isso significa que, para todo no domínio, vale
e existe algum
tal que
.
O que o enunciado pede: provar que a soma não é nem par nem ímpar, ou seja, provar que
não satisfaz
nem
, sob a hipótese de que nem
nem
são a função zero em todo o domínio.
O que o enunciado pede: provar que a soma
Passo 2
Definições e observações úteis (explicadas):
- Função par: uma função
é par se, para todo , . Exemplo: . - Função ímpar: uma função
é ímpar se, para todo , . Exemplo: . - A soma de duas funções é definida ponto a ponto:
.
Vamos chamar. Para analisar se é par ou ímpar, vamos calcular em termos de e .
Passo 3
Calcular
usando as propriedades de paridade de
e
.
Como
é par,
. Como
é ímpar,
. Substituindo:
Passo 4
Testar se
pode ser par. A condição para
ser par é
para todo
. Escrevendo isso com a expressão que achamos:
Subtraindo
dos dois lados obtemos
ou seja
Isto significa que, se
fosse par, então
teria que ser a função zero em todo o domínio. Mas o enunciado afirma que
não é identicamente zero. Logo, sob a hipótese dada,
não pode ser par.
Passo 5
Testar se
pode ser ímpar. A condição para
ser ímpar é
para todo
. Usando
e
:
Expandindo o lado direito:
Somando
aos dois lados:
Isso dá
Portanto, se
fosse ímpar, então
teria que ser a função zero em todo o domínio. Mas o enunciado afirma que
não é identicamente zero. Logo, sob a hipótese dada,
não pode ser ímpar.
Passo 6
Conclusão final lógica: As únicas maneiras de a soma
ser par ou ímpar são, respectivamente,
ser identicamente zero (para que
seja par) ou
ser identicamente zero (para que
seja ímpar). Como o enunciado assume que nem
nem
são identicamente zero, nenhuma dessas possibilidades ocorre. Portanto
não é nem par nem ímpar.
Resposta
A soma
não é nem função par nem função ímpar.