1.10 Prove (2 n+1)+(2 n+3)+(2 n+5)+\cdots+(4 n-1)=3 n^{2} for all positive integers n.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo inteiro positivo n, a soma dos números ímpares
(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+\cdots+(4n-1)
é igual a 3n^{2}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O primeiro termo da soma é 2n+1.
  • Os termos aumentam de 2 em 2 (são números ímpares consecutivos).
  • O último termo da soma é 4n-1.
  • A igualdade deve valer para todo inteiro positivo n.

Passo 2

Estratégia escolhida: ver a soma como uma progressão aritmética (PA) e usar a fórmula da soma de termos de uma PA. Antes de aplicar, vou explicar e demonstrar essa fórmula de forma didática.
Fórmula da soma de uma PA finita: se uma PA tem primeiro termo a_1, último termo a_m e tem m termos, então a soma S é
S = m\cdot\frac{a_1+a_m}{2}.
Explicação e demonstração rápida (método de pareamento): escrevemos a soma na ordem direta e na ordem inversa e somamos termo a termo.
Se
S = a_1 + a_2 + \cdots + a_{m-1} + a_m,
então escrevendo ao contrário
S = a_m + a_{m-1} + \cdots + a_2 + a_1.
Somando essas duas expressões termo a termo obtém-se 2S = (a_1+a_m)+(a_2+a_{m-1})+\cdots+(a_m+a_1). Como na PA cada par correspondente soma sempre o mesmo valor a_1+a_m, há exatamente m pares iguais, logo
2S = m\,(a_1+a_m) \quad\Rightarrow\quad S = m\cdot\frac{a_1+a_m}{2}.
Isso é válido para qualquer PA finita; aqui os nossos termos formam exatamente uma PA com razão 2.

Passo 3

Agora aplico isso ao nosso caso. Identifico os elementos da PA dada:
  • Primeiro termo: a_1 = 2n+1.
  • Último termo: a_m = 4n-1.
  • Razão: d=2.
Preciso determinar o número de termos m. Para uma PA com primeiro termo a_1, razão d e m termos, o m-ésimo termo é
a_m = a_1 + (m-1)d.
Substituo aqui a_1=2n+1, a_m=4n-1 e d=2:
4n-1 = (2n+1) + (m-1)\cdot 2.
Agora resolvo essa equação para m. Primeiro calculo a diferença no lado direito:
4n-1 - (2n+1) = (m-1)\cdot 2.
O lado esquerdo vale
4n-1 - 2n -1 = 2n -2.
Portanto
2n-2 = 2(m-1).
Dividindo ambos os lados por 2:
n-1 = m-1.
Assim m = n. Logo há exatamente n termos na soma.

Passo 4

Calculo a média aritmética do primeiro e do último termo, que é \dfrac{a_1+a_m}{2}:
\frac{(2n+1)+(4n-1)}{2}.
Somando numeradores:
(2n+1)+(4n-1)=6n+0=6n.
Então a média é
\frac{6n}{2}=3n.

Passo 5

Agora uso a fórmula da soma da PA: S = m\cdot\frac{a_1+a_m}{2}. Substituindo m=n e a média que encontramos:
S(n)=n\cdot 3n = 3n^{2}.
Portanto a soma
(2n+1)+(2n+3)+\cdots+(4n-1)
vale 3n^{2} para todo inteiro positivo n.

Passo 6

Verificação rápida com um exemplo pequeno (para dar confiança): se n=1, a soma tem um termo apenas, 2\cdot1+1=3, e 3\cdot1^{2}=3, ok. Se n=2, a soma é (5)+(7)=12 e 3\cdot2^{2}=12, ok. Essas checagens rápidas confirmam o cálculo.
Concluímos que a igualdade é verdadeira para todo inteiro positivo n.

Resposta

(2n+1)+(2n+3)+\cdots+(4n-1)=3n^{2}

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