1.10 Prove
for all positive integers
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para todo inteiro positivo
, a soma dos números ímpares
é igual a
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O primeiro termo da soma é
. - Os termos aumentam de
em (são números ímpares consecutivos). - O último termo da soma é
. - A igualdade deve valer para todo inteiro positivo
.
Passo 2
Estratégia escolhida: ver a soma como uma progressão aritmética (PA) e usar a fórmula da soma de termos de uma PA. Antes de aplicar, vou explicar e demonstrar essa fórmula de forma didática.
Fórmula da soma de uma PA finita: se uma PA tem primeiro termo
, último termo
e tem
termos, então a soma
é
Explicação e demonstração rápida (método de pareamento): escrevemos a soma na ordem direta e na ordem inversa e somamos termo a termo.
Se
então escrevendo ao contrário
Somando essas duas expressões termo a termo obtém-se
. Como na PA cada par correspondente soma sempre o mesmo valor
, há exatamente
pares iguais, logo
Isso é válido para qualquer PA finita; aqui os nossos termos formam exatamente uma PA com razão
.
Passo 3
Agora aplico isso ao nosso caso. Identifico os elementos da PA dada:
- Primeiro termo:
. - Último termo:
. - Razão:
.
Preciso determinar o número de termos
. Para uma PA com primeiro termo
, razão
e
termos, o
-ésimo termo é
Substituo aqui
,
e
:
Agora resolvo essa equação para
. Primeiro calculo a diferença no lado direito:
O lado esquerdo vale
Portanto
Dividindo ambos os lados por
:
Assim
. Logo há exatamente
termos na soma.
Passo 4
Calculo a média aritmética do primeiro e do último termo, que é
:
Somando numeradores:
Então a média é
Passo 5
Agora uso a fórmula da soma da PA:
. Substituindo
e a média que encontramos:
Portanto a soma
vale
para todo inteiro positivo
.
Passo 6
Verificação rápida com um exemplo pequeno (para dar confiança): se
, a soma tem um termo apenas,
, e
, ok. Se
, a soma é
e
, ok. Essas checagens rápidas confirmam o cálculo.
Concluímos que a igualdade é verdadeira para todo inteiro positivo
.