Suppose
and
. (a) Express
and
as products of primes.
(b) Find
and
. (c) Verify that
.
(b) Find
Passo 1
O enunciado dá os inteiros
e
e pede três coisas:
- (a) escrever
e como produto de números primos (fatoração prima); - (b) encontrar
e ; - (c) verificar numericamente que
.
Informações relevantes que temos: os dois números inteiros
e
. A partir das fatorações primárias vamos usar as regras de minúsculos e máximos expoentes para
e
.
Passo 2
Primeira parte da didática curta sobre fatoração prima (o que vou aplicar): um número inteiro
pode ser escrito, de forma única (até ordem), como produto de potências de primos:
onde cada
é um inteiro não negativo (a maioria será zero). Para fatorar na prática, dividimos por primos pequenos sucessivamente (2, 3, 5, 7, …), anotando quantas vezes cada primo divide o número.
Agora fatoro
passo a passo, dividindo por primos pequenos:
-
é par, dividindo por : (um fator ). -
é par: (segundo fator ). -
é par: (terceiro fator ). Logo já temos . -
não é par; soma dos dígitos é múltiplo de , então divide por : . Logo um fator . -
termina em , divide por : . Logo um fator . -
.
Juntando os primos encontrados:
Passo 3
Agora fatoro
com o mesmo procedimento:
-
é par: (um ). -
é par: (dois 's). Então . -
tem soma dos dígitos , divisível por : (um ). -
(dois 's). -
(três 's). Então . -
.
Juntando:
Passo 4
Agora explico a regra para
e
usando as fatorações: se
então
Intuição simples: o máximo divisor comum pega apenas as potências de primos que aparecem em ambos os números, na menor potência comum; o mínimo múltiplo pega o que é necessário para conter ambos, ou seja, a maior potência de cada primo.
Aplicando isso aos primos que aparecem nas fatorações de
e
:
- Para
: expoentes são em e em . Então para uso e para uso . - Para
: , . Então leva , leva . - Para
: , . Então não leva (expoente 0), leva . - Para
: , . Então leva , leva . - Para
: , . Então não leva , leva .
Passo 5
Calculo agora explicitamente
usando os mínimos expoentes:
Multiplicando devagar (para poder fazer na prova sem calculadora):
Portanto
.
Passo 6
Calculo
usando os máximos expoentes:
Faço a multiplicação passo a passo controlando números:
Multiplico em ordem conveniente:
Logo
.
Passo 7
Agora verifico a igualdade pedida em (c):
Para facilitar sem trabalhar com produto enorme, faço a divisão primeiro quando possível:
Logo
que é exatamente o valor que obtivemos para
. Assim a igualdade está verificada numericamente.
Resposta
(a)
,
(b)
(c)