Suppose a=5880 and b=8316. (a) Express a and b as products of primes.
(b) Find \operatorname{gcd}(a, b) and \operatorname{lcm}(a, b). (c) Verify that \operatorname{lcm}(a, b)=|a b| / \operatorname{gcd}(a, b).

Passo 1

O enunciado dá os inteiros a=5880 e b=8316 e pede três coisas:
  • (a) escrever a e b como produto de números primos (fatoração prima);
  • (b) encontrar \gcd(a,b) e \operatorname{lcm}(a,b);
  • (c) verificar numericamente que \operatorname{lcm}(a,b)=\dfrac{|ab|}{\gcd(a,b)}.
Informações relevantes que temos: os dois números inteiros a e b. A partir das fatorações primárias vamos usar as regras de minúsculos e máximos expoentes para \gcd e \operatorname{lcm}.

Passo 2

Primeira parte da didática curta sobre fatoração prima (o que vou aplicar): um número inteiro n>1 pode ser escrito, de forma única (até ordem), como produto de potências de primos:
n = \prod_{p\\ \text{primo}} p^{\alpha_p},
onde cada \alpha_p é um inteiro não negativo (a maioria será zero). Para fatorar na prática, dividimos por primos pequenos sucessivamente (2, 3, 5, 7, …), anotando quantas vezes cada primo divide o número.
Agora fatoro a=5880 passo a passo, dividindo por primos pequenos:
  • 5880 é par, dividindo por 2: 5880/2=2940 (um fator 2).
  • 2940 é par: 2940/2=1470 (segundo fator 2).
  • 1470 é par: 1470/2=735 (terceiro fator 2). Logo já temos 2^3.
  • 735 não é par; soma dos dígitos 7+3+5=15 é múltiplo de 3, então divide por 3: 735/3=245. Logo um fator 3.
  • 245 termina em 5, divide por 5: 245/5=49. Logo um fator 5.
  • 49=7^2.
Juntando os primos encontrados:
5880 = 2^3\cdot 3\cdot 5\cdot 7^2.

Passo 3

Agora fatoro b=8316 com o mesmo procedimento:
  • 8316 é par: 8316/2=4158 (um 2).
  • 4158 é par: 4158/2=2079 (dois 2's). Então 2^2.
  • 2079 tem soma dos dígitos 2+0+7+9=18, divisível por 3: 2079/3=693 (um 3).
  • 693/3=231 (dois 3's).
  • 231/3=77 (três 3's). Então 3^3.
  • 77=7\cdot11.
Juntando:
8316 = 2^2\cdot 3^3\cdot 7\cdot 11.

Passo 4

Agora explico a regra para \gcd e \operatorname{lcm} usando as fatorações: se
a=\prod_p p^{\alpha_p},\qquad b=\prod_p p^{\beta_p},
então
\gcd(a,b)=\prod_p p^{\min(\alpha_p,\beta_p)}, \qquad \operatorname{lcm}(a,b)=\prod_p p^{\max(\alpha_p,\beta_p)}.
Intuição simples: o máximo divisor comum pega apenas as potências de primos que aparecem em ambos os números, na menor potência comum; o mínimo múltiplo pega o que é necessário para conter ambos, ou seja, a maior potência de cada primo.
Aplicando isso aos primos que aparecem nas fatorações de 5880 e 8316:
  • Para 2: expoentes são \alpha_2=3 em a e \beta_2=2 em b. Então para \gcd uso \min(3,2)=2 e para \operatorname{lcm\!} uso \max(3,2)=3.
  • Para 3: \alpha_3=1, \beta_3=3. Então \gcd leva 3^1, \operatorname{lcm} leva 3^3.
  • Para 5: \alpha_5=1, \beta_5=0. Então \gcd não leva 5 (expoente 0), \operatorname{lcm} leva 5^1.
  • Para 7: \alpha_7=2, \beta_7=1. Então \gcd leva 7^1, \operatorname{lcm} leva 7^2.
  • Para 11: \alpha_{11}=0, \beta_{11}=1. Então \gcd não leva 11, \operatorname{lcm} leva 11^1.

Passo 5

Calculo agora explicitamente \gcd(a,b) usando os mínimos expoentes:
\gcd(5880,8316)=2^{\min(3,2)}\cdot 3^{\min(1,3)}\cdot 5^{\min(1,0)}\cdot 7^{\min(2,1)}\cdot 11^{\min(0,1)}
\gcd(5880,8316)=2^2\cdot 3^1\cdot 7^1 = 4\cdot 3\cdot 7.
Multiplicando devagar (para poder fazer na prova sem calculadora):
4\cdot 3 = 12,\qquad 12\cdot 7 = 84.
Portanto \gcd(5880,8316)=84.

Passo 6

Calculo \operatorname{lcm}(a,b) usando os máximos expoentes:
\operatorname{lcm}(5880,8316)=2^{\max(3,2)}\cdot 3^{\max(1,3)}\cdot 5^{\max(1,0)}\cdot 7^{\max(2,1)}\cdot 11^{\max(0,1)}
\operatorname{lcm}(5880,8316)=2^3\cdot 3^3\cdot 5^1\cdot 7^2\cdot 11^1.
Faço a multiplicação passo a passo controlando números:
2^3=8,\qquad 3^3=27,\qquad 5=5,\qquad 7^2=49,\qquad 11=11.
Multiplico em ordem conveniente:
8\cdot 27 = 216,
216\cdot 5 = 1080,
1080\cdot 49 = 1080\cdot(50-1)=54000-1080=52920,
52920\cdot 11 = 52920\cdot(10+1)=529200+52920=582120.
Logo \operatorname{lcm}(5880,8316)=582120.

Passo 7

Agora verifico a igualdade pedida em (c):
\frac{|ab|}{\gcd(a,b)}=\frac{5880\cdot 8316}{84}.
Para facilitar sem trabalhar com produto enorme, faço a divisão primeiro quando possível:
\frac{5880}{84}=70\quad\text{(pois }84\cdot70=5880\text{)}.
Logo
\frac{5880\cdot 8316}{84}=70\cdot 8316 = 582120,
que é exatamente o valor que obtivemos para \operatorname{lcm}(5880,8316). Assim a igualdade está verificada numericamente.

Resposta

(a) 5880 = 2^3\cdot 3\cdot 5\cdot 7^2, 8316 = 2^2\cdot 3^3\cdot 7\cdot 11
(b) \gcd(5880,8316)=84
\operatorname{lcm}(5880,8316)=582120
(c) \dfrac{|5880\cdot 8316|}{\gcd(5880,8316)}=\dfrac{5880\cdot 8316}{84}=582120=\operatorname{lcm}(5880,8316)

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