2.3 Show \sqrt{2+\sqrt{2}} is not a rational number.

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que o número \sqrt{2+\sqrt{2}} não é um número racional.
Informações dadas: apenas o valor \sqrt{2+\sqrt{2}}. Não há outros dados numéricos.

Passo 2

Definição importante (explicação didática): um número é racional se ele pode ser escrito como uma fração \dfrac{p}{q}, onde \,p e \,q são inteiros e q\neq0. Quando fazemos uma prova de que um número não é racional, uma estratégia comum é prova por contradição: assumir que ele é racional e deduzir algo impossível.

Passo 3

Vou seguir a estratégia por contradição. Então começo supondo que \sqrt{2+\sqrt{2}} seja racional. Isso significa que existem inteiros p e q com q\neq0 e \gcd(p,q)=1 (ou seja, a fração está na forma irredutível) tais que
\sqrt{2+\sqrt{2}}=\frac{p}{q}.
O objetivo é chegar a uma contradição.

Passo 4

Elevo os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz externa (explicando: elevar ao quadrado transforma uma raiz quadrada numa expressão sem raiz externa):
2+\sqrt{2}=\frac{p^{2}}{q^{2}}.
Isolando \sqrt{2} obtemos (mostrando cada passo da álgebra):
\sqrt{2}=\frac{p^{2}}{q^{2}}-2=\frac{p^{2}-2q^{2}}{q^{2}}.
Isso mostra que, sob a hipótese, \sqrt{2} é uma razão de inteiros, ou seja, é um número racional.

Passo 5

Agora precisamos usar um fato clássico: \sqrt{2} é irracional. Como você pode não lembrar a prova, vou prová-la passo a passo (essa é uma prova muito famosa usando paridade — números pares e ímpares).
Prova de que \sqrt{2} é irracional (por contradição, de novo):
  • Suponha que \sqrt{2} seja racional, então existem inteiros a e b com b\neq0 e \gcd(a,b)=1 tais que \sqrt{2}=\frac{a}{b}.
  • Elevando ao quadrado: 2=\frac{a^{2}}{b^{2}} \quad\Rightarrow\quad a^{2}=2b^{2}.Essa equação diz que a^{2} é um múltiplo de 2, ou seja, a^{2} é par. Quando o quadrado de um inteiro é par, o inteiro original também é par (explicação pequena: um número ímpar pode ser escrito 2k+1; o quadrado é (2k+1)^{2}=4k^{2}+4k+1, que é ímpar; logo se o quadrado é par, o número não pode ser ímpar).
  • Portanto a é par: existe k\in\mathbb{Z} tal que a=2k. Substituindo em a^{2}=2b^{2}: (2k)^{2}=2b^{2} \quad\Rightarrow\quad 4k^{2}=2b^{2} \quad\Rightarrow\quad b^{2}=2k^{2}.Assim b^{2} é par, então b também é par.
  • Conclusão: tanto a quanto b são pares, ou seja, ambos têm fator 2 em comum. Isso contradiz a hipótese \gcd(a,b)=1 (a fração estava na forma irredutível). Portanto a suposição de que \sqrt{2} é racional é falsa. Logo \sqrt{2}\\ \text{é irracional}.é

Passo 6

Voltando ao argumento do número original: na Passo 4 vimos que, se \sqrt{2+\sqrt{2}} fosse racional então \sqrt{2} seria racional (pois \sqrt{2}=\dfrac{p^{2}-2q^{2}}{q^{2}}). Mas pela Passo 5 sabemos que \sqrt{2} é irracional. Isso é uma contradição. Logo a hipótese inicial (que \sqrt{2+\sqrt{2}} é racional) é falsa.

Resposta

\sqrt{2+\sqrt{2}} é irracional.

Exercícios relacionados