2.3 Show
is not a rational number.
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que o número
não é um número racional.
Informações dadas: apenas o valor . Não há outros dados numéricos.
Informações dadas: apenas o valor
Passo 2
Definição importante (explicação didática): um número é racional se ele pode ser escrito como uma fração
, onde
e
são inteiros e
. Quando fazemos uma prova de que um número não é racional, uma estratégia comum é prova por contradição: assumir que ele é racional e deduzir algo impossível.
Passo 3
Vou seguir a estratégia por contradição. Então começo supondo que
seja racional. Isso significa que existem inteiros
e
com
e
(ou seja, a fração está na forma irredutível) tais que
O objetivo é chegar a uma contradição.
Passo 4
Elevo os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz externa (explicando: elevar ao quadrado transforma uma raiz quadrada numa expressão sem raiz externa):
Isolando
obtemos (mostrando cada passo da álgebra):
Isso mostra que, sob a hipótese,
é uma razão de inteiros, ou seja, é um número racional.
Passo 5
Agora precisamos usar um fato clássico:
é irracional. Como você pode não lembrar a prova, vou prová-la passo a passo (essa é uma prova muito famosa usando paridade — números pares e ímpares).
Prova de que
é irracional (por contradição, de novo):
- Suponha que
seja racional, então existem inteiros e com e tais que - Elevando ao quadrado:
Essa equação diz que é um múltiplo de , ou seja, é par. Quando o quadrado de um inteiro é par, o inteiro original também é par (explicação pequena: um número ímpar pode ser escrito ; o quadrado é , que é ímpar; logo se o quadrado é par, o número não pode ser ímpar). - Portanto
é par: existe tal que . Substituindo em : Assim é par, então também é par. - Conclusão: tanto
quanto são pares, ou seja, ambos têm fator em comum. Isso contradiz a hipótese (a fração estava na forma irredutível). Portanto a suposição de que é racional é falsa. Logo
Passo 6
Voltando ao argumento do número original: na Passo 4 vimos que, se
fosse racional então
seria racional (pois
). Mas pela Passo 5 sabemos que
é irracional. Isso é uma contradição. Logo a hipótese inicial (que
é racional) é falsa.