(10 pts) Determine a solução para o PVI abaixo usando o método dos coeficientes indeterminados.
y^prime prime+9 y=cos (3 t)+1, y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado dá o PVI
y'' + 9y = cos(3t) + 1, y(0)=1,;y'(0)=0
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, resolvida pelo método dos coeficientes indeterminados: primeiro encontramos a solução homogênea, depois uma particular, e por fim ajustamos as constantes pelos valores iniciais.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + 9y = 0
O polinômio característico é r^2 + 9 = 0, cujas raízes são r = pm 3i. Logo a solução geral homogênea é
yh(t) = C1cos(3t) + C2sin(3t)

Passo 3

Para a parte não homogênea, temos dois termos à direita: um constante 1 e um cosseno de frequência de ressonância 3.
  1. Para o termo constante propomos yp1=A. Substituindo em y''+9y (onde y''=0), obtemos
9A = 1 implies A = tfrac19
  1. Para o termo cos(3t), como cos(3t) aparece na homogênea, há ressonância. Então multiplicamos a tentativa usual por t:
yp2(t) = tl(Acos(3t)+Bsin(3t)r)

Passo 4

Calculamos yp2''+9yp2 e igualamos a cos(3t). Após derivar duas vezes e somar 9yp2, chega-se a
yp2''+9yp2 = -6Asin(3t) + 6Bcos(3t)
Para isso ser igual a cos(3t) precisamos
6B = 1, -6A = 0 Longrightarrow A=0,;B=tfrac16
Logo
yp2(t) = tl(0cdotcos(3t)+tfrac16sin(3t)r) = tfract6sin(3t)
Assim a solução particular completa é
yp(t) = tfrac19 + tfract6sin(3t)

Passo 5

A solução geral do PVI é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1cos(3t)+C2sin(3t) + tfrac19 + tfract6sin(3t)

Passo 6

Usamos as condições iniciais:
  1. y(0)=1
y(0)=C1cdot1 + C2cdot0 + tfrac19 + 0 = C1 + tfrac19 = 1 Longrightarrow C1 = tfrac89
  1. Para y'(t) notamos
y'(t) = -3C1sin(3t) + 3C2cos(3t) + 16sin(3t) + t2cos(3t)
Em t=0:
y'(0)=3C2 = 0 Longrightarrow C2 = 0

Resposta

boxedy(t) = 89cos(3t) + t6sin(3t) + 19

Exercícios relacionados