(10 pts) Determine a solução para o PVI abaixo usando o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
O enunciado dá o PVI
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, resolvida pelo método dos coeficientes indeterminados: primeiro encontramos a solução homogênea, depois uma particular, e por fim ajustamos as constantes pelos valores iniciais.
Passo 2
A equação homogênea associada é
O polinômio característico é
, cujas raízes são
. Logo a solução geral homogênea é
Passo 3
Para a parte não homogênea, temos dois termos à direita: um constante
e um cosseno de frequência de ressonância
.
- Para o termo constante propomos
. Substituindo em (onde ), obtemos
- Para o termo
, como aparece na homogênea, há ressonância. Então multiplicamos a tentativa usual por :
Passo 4
Calculamos
e igualamos a
. Após derivar duas vezes e somar
, chega-se a
Para isso ser igual a
precisamos
Logo
Assim a solução particular completa é
Passo 5
A solução geral do PVI é
Passo 6
Usamos as condições iniciais:
-
dá
- Para
notamos
Em
: