(a) Encontre a solução geral da equação
y^prime prime+2 y^prime+alpha y=0
para alpha>1, para alpha=1 e para alpha<1.
(b) Para quais valores de alpha todas as soluções tendem a zero quando t +infty.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y''+2y'+alpha,y=0
dependendo dos valores de alpha. Na parte (a) vamos usar a equação característica e distinguir os casos alpha>1, alpha=1 e alpha<1. Na parte (b) vamos verificar para quais alpha as soluções decaem a zero quando tto+infty.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
r^2 + 2r + alpha = 0
As raízes são
r = -1 pm raiz1-alpha
O sinal e a natureza (real ou complexa) de raiz1-alpha determinam as três situações.

Passo 3

Caso alpha>1. Aqui 1-alpha<0, de modo que
raiz1-alpha=iraizalpha-1
e as raízes são r=-1pm iraizalpha-1. A solução geral é
y(t)=e^-tl(C1cos(raizalpha-1,t)+C2sin(raizalpha-1,t)r)

Passo 4

Caso alpha=1. Aqui 1-alpha=0, e temos raiz dupla r=-1. A solução geral de uma equação com raiz dupla é
y(t)=e^-t(C1 + C2,t)

Passo 5

Caso alpha<1. Agora 1-alpha>0, logo as raízes são reais e distintas:
r1=-1+raiz1-alpha, r2=-1-raiz1-alpha
A solução geral é
y(t)=C1e^r1 t+C2e^r2 t = C1e^(-1+raiz1-alpha)t+C2e^(-1-raiz1-alpha)t

Passo 6

Para a parte (b) queremos que todo termo exponencial tenda a zero quando tto+infty. Nos três casos isso exige Re(r)<0 para ambas as raízes.
  • Se alpha>1, Re(r)=-1<0.
  • Se alpha=1, r=-1<0.
  • Se alpha<1, precisamos -1+raiz1-alpha<0, isto é raiz1-alpha<1, ou seja, alpha>0.
Portanto, todas as soluções decaem a zero se e somente se alpha>0.

Resposta

(a) Para alpha>1:
y(t)=e^-tl(C1cos(raizalpha-1,t)+C2sin(raizalpha-1,t)r)
Para alpha=1:
y(t)=e^-t(C1 + C2,t)
Para alpha<1:
y(t)=C1e^(-1+raiz1-alpha)t+C2e^(-1-raiz1-alpha)t
(b) Todas as soluções tendem a zero quando tto+infty se, e somente se, alpha>0.

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