(a) Encontre a solução geral da equação
para
, para
e para
.
(b) Para quais valores de
todas as soluções tendem a zero quando
.
(b) Para quais valores de
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
dependendo dos valores de
. Na parte (a) vamos usar a equação característica e distinguir os casos
,
e
. Na parte (b) vamos verificar para quais
as soluções decaem a zero quando
.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada:
As raízes são
O sinal e a natureza (real ou complexa) de
determinam as três situações.
Passo 3
Caso
. Aqui
, de modo que
e as raízes são
. A solução geral é
Passo 4
Caso
. Aqui
, e temos raiz dupla
. A solução geral de uma equação com raiz dupla é
Passo 5
Caso
. Agora
, logo as raízes são reais e distintas:
A solução geral é
Passo 6
Para a parte (b) queremos que todo termo exponencial tenda a zero quando
. Nos três casos isso exige
para ambas as raízes.
- Se
, . - Se
, . - Se
, precisamos , isto é , ou seja, .
Portanto, todas as soluções decaem a zero se e somente se
.
Resposta
(a) Para
:
Para
:
Para
:
(b) Todas as soluções tendem a zero quando
se, e somente se,
.