( 10 pts ) Usando série de potências em torno de x0=0, determine a solução para o PVI abaixo até pelo menos o termo em x^6.
y^prime prime-2 x y^prime+4 y=0, y(0)=4, y^prime(0)=7

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' - 2x,y' + 4y = 0, y(0)=4, y'(0)=7
por série de potências em torno de x0=0. O conteúdo que vamos usar é o método de séries de potências: supor
y(x)=sumn=0^inftyanx^n,
calcular y' e y'', substituir na equação diferencial e obter uma relação de recorrência entre os coeficientes an.

Passo 2

Supondo
y(x)=sumn=0^inftyanx^n, y'(x)=sumn=1^inftyn,anx^n-1, y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1),anx^n-2,
substituímos em y''-2x,y'+4y=0. Reindexando para ter potências x^m com m=n-2 no primeiro somatório e m=n nos outros, obtemos
summ=0^inftyl[(m+2)(m+1)am+2 -2m,am +4amr]x^m=0
Como a série é nula para todo x, cada coeficiente anula-se:
(m+2)(m+1),am+2 + (4-2m),am=0 Longrightarrow am+2=2m-4(m+2)(m+1),am

Passo 3

Pelos dados iniciais temos
a0=y(0)=4, a1=y'(0)=7

Passo 4

Usando a recorrência am+2=2m-4(m+2)(m+1),am calculamos até m+2<=6:
m=0:;&a2=2cdot0-42cdot1,a0=-2cdot4=-8, m=1:;&a3=2cdot1-43cdot2,a1=-26cdot7=-tfrac73, m=2:;&a4=2cdot2-44cdot3,a2=0cdot(-8)=0, m=3:;&a5=2cdot3-45cdot4,a3=220cdotl(-tfrac73r)=-tfrac730, m=4:;&a6=2cdot4-46cdot5,a4=430cdot0=0

Passo 5

Reescrevendo a série até o termo em x^6:
y(x) =a0+a1x+a2x^2+a3x^3+a4x^4+a5x^5+a6x^6+cdots =4 +7x-8x^2-tfrac73x^3+0cdot x^4-tfrac730x^5+0cdot x^6+cdots

Resposta

y(x)=4 +7x-8x^2-73x^3-730x^5+O(x^7),
ou, exibindo todos os coeficientes até x^6,
y(x)=4 +7x-8x^2-73x^3+0,x^4-730x^5+0,x^6+cdots

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