( 10 pts ) Usando série de potências em torno de
, determine a solução para o PVI abaixo até pelo menos o termo em
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
por série de potências em torno de
. O conteúdo que vamos usar é o método de séries de potências: supor
calcular
e
, substituir na equação diferencial e obter uma relação de recorrência entre os coeficientes
.
Passo 2
Supondo
substituímos em
. Reindexando para ter potências
com
no primeiro somatório e
nos outros, obtemos
Como a série é nula para todo
, cada coeficiente anula-se:
Passo 3
Pelos dados iniciais temos
Passo 4
Usando a recorrência
calculamos até
:
Passo 5
Reescrevendo a série até o termo em
:
Resposta
ou, exibindo todos os coeficientes até
,