Calcule os limites abaixo.
(1,0 pto ) lim (x, y) (0,0) x y+1x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
f(x,y)=xy+1x^2+y^2
quando (x,y)to(0,0). Para estudar limites em pontos onde o denominador tende a zero, comparamos o comportamento do numerador e do denominador separadamente.

Passo 2

Observamos que, quando (x,y)to(0,0),
xy+1 ;longrightarrow; 1
e
x^2+y^2 ;longrightarrow; 0,
sendo x^2+y^2>0 sempre que (x,y)neq(0,0). Portanto a fração
xy+1x^2+y^2
fica aproximadamente igual a
1número muito pequeno positivo, ú
que cresce sem limite superior.

Passo 3

Como o numerador tende a 1>0 e o denominador tende a 0 pelo lado positivo, o quociente tende a +infty. Logo não há limite finito.

Resposta

O limite diverge para +infty.

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