10.1 Questão 01
Um projétil é disparado em um ângulo de
com energia cinética inicial
. No topo de sua trajetória, ele explode com energia adicional
em dois fragmentos. Um fragmento de massa
se desloca em linha reta para baixo. Determine, em termos de
e
:
(a) A velocidade (módulo e direção) do segundo fragmento de massa
.
(b) O módulo da velocidade do primeiro fragmento de massa
.
(c) Qual é a razão
quando
atinge seu valor máximo?
(a) A velocidade (módulo e direção) do segundo fragmento de massa
(b) O módulo da velocidade do primeiro fragmento de massa
(c) Qual é a razão
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados do enunciado:
- O projétil (massa total) é lançado com energia cinética inicial
. - O lançamento é feito com ângulo de
. - No topo da trajetória o projétil explode, liberando energia adicional
. - Após a explosão surgem dois fragmentos com massas
e , de modo que . - O fragmento de massa
move-se imediatamente (após a explosão) em linha reta para baixo (ou seja, velocidade puramente vertical descendente).
- O projétil (massa total) é lançado com energia cinética inicial
-
O que a questão pede (três itens):
(a) A velocidade do segundo fragmento: módulo e direção (em termos de e ).
(b) O módulo da velocidade do primeiro fragmento(isto é, sua rapidez após a explosão).
(c) A razãoquando atinge seu valor máximo permitido (se aplicável).
Passo 2
Entendendo a situação física no topo da trajetória e calculando a velocidade pré-explosão.
-
Lembrete físico básico (explicação): a explosão é uma interação interna rápida; durante ela o impulso externo da gravidade pode ser desprezado, então o momento linear total do sistema é conservado no instante da explosão. A energia cinética total NÃO é conservada (a explosão adiciona energia), mas sabemos quanto é adicionada:
. -
Primeiro precisamos saber a velocidade do projétil exatamente no topo, imediatamente antes da explosão.
- A energia cinética inicial no lançamento é
. Chamando a velocidade inicial do projétil (no momento do disparo), tem-se a relação
- O lançamento é a
. No topo da trajetória a componente vertical da velocidade é zero; a componente horizontal permanece igual a . - Logo a velocidade no topo (módulo) é
- Substituindo
obtemos
- A energia cinética no topo, antes da explosão, é
- A energia cinética inicial no lançamento é
Passo 3
Escrever as equações de conservação do momento linear (vetorial) e a condição de energia após a explosão.
-
Conservação do momento linear (antes e imediatamente depois da explosão):
- Antes: momento total horizontal
. Momento vertical antes é zero. - Depois: somatório dos momentos dos fragmentos deve ser igual ao antes (vetorialmente).
- Denotando as velocidades pós-explosão por
(para ) e (para ), e sabendo que é puramente vertical para baixo, podemos escrever as componentes: - Componente horizontal:
Mas (pois vai só para baixo), então - Componente vertical (antes era zero):
Tomando eixo positivo para cima e chamando o módulo da velocidade de (direção para baixo), temos . Assim (Note que isto dá positivo — ou seja, terá componente vertical para cima.)
- Antes: momento total horizontal
-
Condição de energia:
- A energia cinética total imediatamente após a explosão será a energia cinética antes mais a energia adicionada pela explosão. Como tínhamos
e a explosão adiciona , então
- Em termos das velocidades dos fragmentos,
- A energia cinética total imediatamente após a explosão será a energia cinética antes mais a energia adicionada pela explosão. Como tínhamos
Passo 4
Expressar
e
em termos de
,
,
e
usando conservação do momento.
- Da componente horizontal:
- Da componente vertical (veja passo anterior):
Passo 5
Substituir as expressões de
e
na equação de energia e resolver para
.
- Substituindo na equação de energia:
- Expandindo e simplificando os termos com
:
- Agrupando os dois primeiros termos:
- Multiplicando por
e isolando o termo com :
- Lembrando que
(passo 2), temos
- Assim o lado direito torna-se
porque
e
.
- Então
- Multiplicando por
e isolando :
- Portanto, o módulo da velocidade do fragmento
é
- Observação importante (condição física): para
real é necessário , isto é
Isto impõe um limite físico sobre a massa
.
Passo 6
Encontrar as componentes, o módulo e a direção da velocidade de
.
-
Já temos as componentes em termos de quantidades conhecidas:
- Horizontal:
- Vertical:
-
Para o módulo
podemos simplificar: - Calcule
. - Calcule
. - Somando:
- Observando que
, temos
- Portanto
- Finalmente,
- Calcule
-
Direção (ângulo
acima da horizontal): -
- Substituindo
e e simplificando (ver passo 5) obtemos
- Assim a direção do vetor
é dada por um ângulo acima da horizontal com .
-
Passo 7
Análise do máximo de
.
- Do passo 5 vimos a condição de realidade da velocidade
:
- Portanto o valor máximo permitido para
(compatível com a energia adicional da explosão) é . - A razão pedida quando
atinge seu valor máximo é, então,
Resposta
(a)
, com direção formando o ângulo
acima da horizontal.
(b)
.
(c)
(valor máximo permitido por
real).