Questão 4 (0.50 ponto)
Um filme de óleo (\mathrm{n}=1,45) flutuando na água é iluminado por luz branca em incidência perpendicular. O filme tem 280 nm de espessura. Encontre
o comprimento de onda e a cor da luz no espectro visível que são refletidas com mais força

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o comprimento de onda e a cor, no espectro visível, que são refletidas com mais força por um filme de óleo com índice de refração \,n=1{,}45\, e espessura \,t=280\\ \text{nm}\,, quando iluminado por luz branca em incidência perpendicular.
Informações relevantes dadas:
  • Índice do óleo: \,n=1{,}45\,.
  • Espessura do filme: \,t=280\\ \text{nm}\,.
  • Incidência perpendicular (ângulo de incidência \,0^\circ).
  • Meio acima do filme é o ar ( n_{\text{ar}}\approx1{,}00) e abaixo está a água ( n_{\text{água}}\approx1{,}33á). Estas constantes serão usadas para determinar mudanças de fase nas reflexões.
    O objetivo é achar qual comprimento de onda na luz branca será maximamente refletido por interferência construtiva e qual cor isso corresponde.

Passo 2

Breve explicação física (passo a passo, sem pular etapas):
  • Quando luz branca incide no filme, duas reflexões principais interferem: uma na face superior ar→óleo e outra na face inferior óleo→água. Essas duas ondas refletidas podem somar construtivamente para certas cores (comprimentos de onda) e somar destrutivamente para outras. É essa interferência que dá cor.
  • A diferença de fase entre as duas ondas refletidas tem duas contribuições:
    1. A diferença de fase causada pelo caminho extra percorrido pela onda que reflete na face inferior: a luz entra no filme, percorre ida e volta uma distância geométrica 2t; em termos ópticos isto corresponde a um caminho óptico 2 n t.
    2. As possíveis mudanças de fase que ocorrem no ato da reflexão: quando uma onda reflete numa interface de índice menor para maior ( n_{\text{menor}}\to n_{\text{maior}}) ela sofre uma inversão de fase equivalente a \pi (meia onda). Quando reflete de maior para menor, não há inversão de fase.
  • Vamos identificar as inversões:
    • Reflexão ar ( n\approx1{,}00) → óleo ( n=1{,}45): reflete do lado de menor para maior → há uma inversão de fase de \pi.
    • Reflexão óleo ( n=1{,}45) → água ( n\approx1{,}33): reflete do lado de maior para menor → não há inversão de fase.
  • Conclusão: há exatamente uma inversão de fase entre as duas ondas refletidas (uma recebe \pi, a outra não).

Passo 3

Derivação da condição de interferência construtiva para a reflexão (com uma inversão de fase):
  • A diferença de fase total entre as duas ondas refletidas é a soma da fase associada ao caminho extra e da diferença de fase por inversões:
    • Fase do caminho extra (usando o comprimento de onda no vácuo \lambda): \displaystyle \delta_{\text{caminho}}=\frac{2\pi}{\lambda}\cdot 2 n t = \frac{4\pi n t}{\lambda}.
    • Diferença de fase por reflexões: \pi (já que há só uma inversão).
  • Para interferência construtiva (as ondas saírem em fase), a diferença de fase total deve ser um múltiplo par de \pi: \delta_{\text{caminho}} + \pi = 2\pi m,\quad m\in\mathbb{Z}.
  • Substituindo \delta_{\text{caminho}}: \frac{4\pi n t}{\lambda} + \pi = 2\pi mDividindo por \pi: \frac{4 n t}{\lambda} + 1 = 2mIsolando \lambda: \lambda = \frac{4 n t}{2m-1},\qquad m=1,2,3,\dots
  • Interpretação das variáveis:
    • \lambda é o comprimento de onda no ar (vácuo) que será fortemente refletido.
    • n é o índice do filme ( 1{,}45).
    • t é a espessura do filme ( 280\\ \text{nm}).
    • m é um número inteiro que indexa as ordens de interferência.

Passo 4

Aplicando a fórmula com os valores numéricos (mostrando as contas passo a passo):
  • Primeiro calcule o numerador \,4 n t: n t = 1{,}45\times280\\ \text{nm}=406\\ \text{nm},
4 n t = 4\times406\\ \text{nm}=1624\\ \text{nm}.
  • Assim \lambda_m=\frac{1624}{2m-1}\\ \text{nm}.
  • Agora testar valores de m para achar as ordens que caem no espectro visível (aproximadamente \,380\\ \text{nm} a \,750\\ \text{nm}\,):
    • Para m=1: \lambda_1=\frac{1624}{1}=1624\\ \text{nm}\quad(\text{infravermelho},\\ \text{fora do visível}).í
    • Para m=2: \lambda_2=\frac{1624}{3}=541{,}333\ldots\\ \text{nm}\approx541{,}3\\ \text{nm}\quad(\text{está no visível}).áí
    • Para m=3: \lambda_3=\frac{1624}{5}=324{,}8\\ \text{nm}\quad(\text{ultravioleta},\\ \text{fora do visível}).í
  • Conclusão prática: a única ordem que cai no intervalo visível é m=2, dando \lambda\approx541{,}3\\ \text{nm}.

Passo 5

Identificação da cor associada a \lambda\approx541{,}3\\ \text{nm}:
  • A faixa de \sim540\\ \text{nm} corresponde à cor verde (um verde ligeiramente esverdeado/verde-amarelado dependendo da percepção). Portanto, a luz mais fortemente refletida será percebida como verde.
  • Resumo rápido e encorajador: com um filme tão fino e esse índice, o filme age como um filtro que reforça comprimentos de onda ao redor de \,541\\ \text{nm}, então você verá um reflexo esverdeado — ponto ótimo para decorar para a prova!

Resposta

\lambda \approx 541{,}3\\ \text{nm}
verde

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