Quanto vale \sin \theta, se \cos \theta=0.75 ?

Passo 1

O enunciado dá que \cos\theta=0,75 e pergunta quanto vale \sin\theta. Informação importante: não foi dita a quadrante de \theta, então pode haver duas possibilidades de sinal para \sin\theta. Vou listar o que temos:
  • Dado: \cos\theta=0,75.
  • Pedido: encontrar \sin\theta.
  • Observação: falta a informação do quadrante, logo a resposta poderá ter sinal positivo ou negativo.

Passo 2

Vamos usar a identidade trigonométrica fundamental (a identidade pitagórica). Ela diz que, para qualquer ângulo \theta,
\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1.
Explicando: \cos^{2}\theta significa (\cos\theta)^{2} e \sin^{2}\theta significa (\sin\theta)^{2}. Essa identidade vem diretamente do teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo associado ao ângulo.

Passo 3

Isolando \sin^{2}\theta na identidade, obtemos:
\sin^{2}\theta = 1 - \cos^{2}\theta.
Para obter \sin\theta a partir de \sin^{2}\theta, tomamos a raiz quadrada dos dois lados:
\sin\theta = \pm\sqrt{\,1-\cos^{2}\theta\,}.
O sinal \pm aparece porque tanto um número positivo quanto seu negativo têm o mesmo quadrado. O sinal concreto depende da posição do ângulo \theta (qual quadrante).

Passo 4

Substituindo o valor dado \cos\theta=0,75. Primeiro é prático passar para fração exata:
0,75=\tfrac{3}{4}.
Agora calculamos \cos^{2}\theta:
\cos^{2}\theta=\left(\tfrac{3}{4}\right)^{2}=\tfrac{9}{16}.
Em seguida:
1-\cos^{2}\theta = 1-\tfrac{9}{16}=\tfrac{16}{16}-\tfrac{9}{16}=\tfrac{7}{16}.

Passo 5

Tomando a raiz quadrada:
\sin\theta = \pm\sqrt{\tfrac{7}{16}}=\pm\tfrac{\sqrt{7}}{4}.
Aqui \sqrt{7} é a raiz quadrada do número 7. A fração está já simplificada porque \sqrt{16}=4.

Passo 6

Interpretação geométrica (jeito útil para a prova): pense num triângulo retângulo com hipotenusa 4 e cateto adjacente 3 (porque \cos\theta=\tfrac{\text{adj}}{\text{hip}}=\tfrac{3}{4}). Pelo teorema de Pitágoras o cateto oposto vale \sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}. Então \sin\theta=\dfrac{\text{oposto}}{\text{hip}}=\dfrac{\sqrt{7}}{4} em valor absoluto; o sinal positivo ou negativo depende do quadrante do ângulo.

Passo 7

Decisão do sinal:
  • Se \theta estiver no primeiro quadrante (entre 0 e \tfrac{\pi}{2}), então \sin\theta>0 e \sin\theta=+\dfrac{\sqrt{7}}{4}.
  • Se \theta estiver no quarto quadrante (entre -\tfrac{\pi}{2} e 0 ou equivalentemente entre \tfrac{3\pi}{2} e 2\pi), então \sin\theta<0 e \sin\theta=-\dfrac{\sqrt{7}}{4}.
    Como o enunciado não especificou o quadrante, a resposta deve contemplar os dois sinais.

Resposta

\displaystyle \sin\theta=\pm\dfrac{\sqrt{7}}{4}

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