Quanto vale
, se
?
Passo 1
O enunciado dá que
e pergunta quanto vale
. Informação importante: não foi dita a quadrante de
, então pode haver duas possibilidades de sinal para
. Vou listar o que temos:
- Dado:
. - Pedido: encontrar
. - Observação: falta a informação do quadrante, logo a resposta poderá ter sinal positivo ou negativo.
Passo 2
Vamos usar a identidade trigonométrica fundamental (a identidade pitagórica). Ela diz que, para qualquer ângulo
,
Explicando:
significa
e
significa
. Essa identidade vem diretamente do teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo associado ao ângulo.
Passo 3
Isolando
na identidade, obtemos:
Para obter
a partir de
, tomamos a raiz quadrada dos dois lados:
O sinal
aparece porque tanto um número positivo quanto seu negativo têm o mesmo quadrado. O sinal concreto depende da posição do ângulo
(qual quadrante).
Passo 4
Substituindo o valor dado
. Primeiro é prático passar para fração exata:
Agora calculamos
:
Em seguida:
Passo 5
Tomando a raiz quadrada:
Aqui
é a raiz quadrada do número
. A fração está já simplificada porque
.
Passo 6
Interpretação geométrica (jeito útil para a prova): pense num triângulo retângulo com hipotenusa
e cateto adjacente
(porque
). Pelo teorema de Pitágoras o cateto oposto vale
. Então
em valor absoluto; o sinal positivo ou negativo depende do quadrante do ângulo.
Passo 7
Decisão do sinal:
- Se
estiver no primeiro quadrante (entre e ), então e . - Se
estiver no quarto quadrante (entre e ou equivalentemente entre e ), então e .
Como o enunciado não especificou o quadrante, a resposta deve contemplar os dois sinais.