(10%) Questão 12. Mostre que, para todo
,
Passo 1
O enunciado pede que se mostre que, para todo
,
Informações dadas:
-
; -
é um inteiro não negativo (assume‑se inteiro para que a soma faça sentido com expoentes ); - o denominador é a soma de
termos: .
O que se pede: provar a desigualdade acima para todo
.
Passo 2
Vamos usar uma desigualdade simples e muito útil: para quaisquer números reais não negativos
e
vale a desigualdade da média aritmética–geométrica no caso de dois termos,
ou equivalentemente
Prova rápida (caso dois termos): como
, expandindo obtemos
, portanto
. Esta prova usa apenas que
e
.
Passo 3
Aplicamos essa desigualdade par a par aos termos do denominador. Considere os pares formados por
e
, para
. Para cada par temos, usando
e
,
porque
(lembre que
, então raízes estão bem definidas).
Há exatamente
desses pares (índices
). Além desses pares, permanece o termo central
(quando somamos dos expoentes
a
há um termo com expoente
que não foi emparelhado). Somando todas as desigualdades dos pares e adicionando o termo central
obtemos
Passo 4
Como consequência da desigualdade do passo anterior temos
Observando que o denominador é positivo (pois
), podemos dividir ambos os lados por esse denominador e por
para obter
Passo 5
Comentário didático rápido: outra forma equivalente é aplicar a desigualdade AM–GM direta para as
quantidades
. A média geométrica dessas
quantidades é
e a AM–GM dá
, que leva à mesma conclusão
.