(10%) Questão 12. Mostre que, para todo x>0,
\frac{x^{n}}{1+x+x^{2}+\cdots+x^{2 n}} \leqslant \frac{1}{2 n+1} .

Passo 1

O enunciado pede que se mostre que, para todo x>0,
\frac{x^{n}}{1+x+x^{2}+\cdots+x^{2 n}} \leqslant \frac{1}{2 n+1}.
Informações dadas:
  • x>0;
  • n é um inteiro não negativo (assume‑se inteiro para que a soma faça sentido com expoentes 0,1,\dots,2n);
  • o denominador é a soma de 2n+1 termos: 1+x+x^{2}+\cdots+x^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}x^{k}.
O que se pede: provar a desigualdade acima para todo x>0.

Passo 2

Vamos usar uma desigualdade simples e muito útil: para quaisquer números reais não negativos a e b vale a desigualdade da média aritmética–geométrica no caso de dois termos,
\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab},
ou equivalentemente
a+b \ge 2\sqrt{ab}.
Prova rápida (caso dois termos): como (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}\ge 0, expandindo obtemos a+b-2\sqrt{ab}\ge0, portanto a+b\ge2\sqrt{ab}. Esta prova usa apenas que a\ge0 e b\ge0.

Passo 3

Aplicamos essa desigualdade par a par aos termos do denominador. Considere os pares formados por x^{k} e x^{2n-k}, para k=0,1,\dots,n-1. Para cada par temos, usando a=x^{k} e b=x^{2n-k},
x^{k}+x^{2n-k} \ge 2\sqrt{x^{k}\cdot x^{2n-k}} = 2x^{n},
porque \sqrt{x^{k}\cdot x^{2n-k}}=x^{(k+2n-k)/2}=x^{n} (lembre que x>0, então raízes estão bem definidas).
Há exatamente n desses pares (índices k=0,\dots,n-1). Além desses pares, permanece o termo central x^{n} (quando somamos dos expoentes 0 a 2n há um termo com expoente n que não foi emparelhado). Somando todas as desigualdades dos pares e adicionando o termo central x^{n} obtemos
\sum_{k=0}^{2n} x^{k} = \biggl(\sum_{k=0}^{n-1} (x^{k}+x^{2n-k})\biggr) + x^{n} \ge n\cdot(2x^{n}) + x^{n} = (2n+1)x^{n}.

Passo 4

Como consequência da desigualdade do passo anterior temos
1+x+x^{2}+\cdots+x^{2n}=\sum_{k=0}^{2n} x^{k} \ge (2n+1)x^{n}.
Observando que o denominador é positivo (pois x>0), podemos dividir ambos os lados por esse denominador e por (2n+1) para obter
\frac{x^{n}}{1+x+x^{2}+\cdots+x^{2 n}} \le \frac{x^{n}}{(2n+1)x^{n}}=\frac{1}{2n+1}.

Passo 5

Comentário didático rápido: outra forma equivalente é aplicar a desigualdade AM–GM direta para as 2n+1 quantidades x^{0},x^{1},\dots,x^{2n}. A média geométrica dessas 2n+1 quantidades é
\biggl(\prod_{k=0}^{2n} x^{k}\biggr)^{\!1/(2n+1)} = x^{\frac{1}{2n+1}\sum_{k=0}^{2n}k}=x^{\frac{(2n)(2n+1)/2}{2n+1}}=x^{n},
e a AM–GM dá \dfrac{1}{2n+1}\sum_{k=0}^{2n}x^{k}\ge x^{n}, que leva à mesma conclusão \sum_{k=0}^{2n}x^{k}\ge (2n+1)x^{n}.

Resposta

\frac{x^{n}}{1+x+x^{2}+\cdots+x^{2 n}} \leqslant \frac{1}{2 n+1}.

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