(10%) Questão 14. Mostre que para quaisquer x_{1}, \ldots, x_{n} \in \mathbb{R},
\frac{x_{1}}{1+x_{1}^{2}}+\frac{x_{2}}{1+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}+\cdots+\frac{x_{n}}{1+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}} \leqslant \sqrt{n}

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para quaisquer números reais x_{1},\dots,x_{n},
\frac{x_{1}}{1+x_{1}^{2}}+\frac{x_{2}}{1+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}+\cdots+\frac{x_{n}}{1+x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}\leqslant \sqrt{n}.
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
  • Cada denominador é positivo, pois é da forma 1+ soma de quadrados.
  • Não há restrição de sinal para os x_{k}: podem ser positivos, negativos ou zeros.
    A tarefa é fornecer uma prova passo a passo e didática desta desigualdade.

Passo 2

Estratégia que vou usar (sem resolver ainda): aplicar a desigualdade de Cauchy–Schwarz na forma
\Bigl(\sum_{k=1}^{n} a_k b_k\Bigr)^2 \le \Bigl(\sum_{k=1}^{n} a_k^2\Bigr)\Bigl(\sum_{k=1}^{n} b_k^2\Bigr),
escolhendo a_k e b_k de modo que a_k b_k=\dfrac{x_k}{1+x_1^2+\cdots+x_k^2}. Uma escolha natural é
a_k=\frac{x_k}{1+x_1^2+\cdots+x_k^2}\quad\text{e}\quad b_k=1,
ou, mais útil, separar o termo em fatores com quadrados para controlar a soma dos quadrados. Vou construir uma estimativa do tipo
\sum_{k=1}^{n}\frac{x_k}{S_k}\le \sqrt{n}\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\frac{x_k^2}{S_k^2}},
onde \,S_k:=1+x_1^2+\cdots+x_k^2. Portanto basta mostrar que
\sum_{k=1}^{n}\frac{x_k^2}{S_k^2}\le 1.
Nos próximos passos vou provar essa última desigualdade de forma limpa e elementar.

Passo 3

Defino, para todo k,
S_k := 1 + \sum_{i=1}^k x_i^2.
Observe que S_0=1 e a sequência (S_k)_{k\ge0} é crescente, isto é, 0<S_0\le S_1\le\cdots\le S_n. Uma identidade simples e útil é
\frac{1}{S_{k-1}}-\frac{1}{S_k}=\frac{S_k-S_{k-1}}{S_{k-1}S_k}=\frac{x_k^2}{S_{k-1}S_k}.
Como S_{k-1}\le S_k, temos S_{k-1}S_k\le S_k^2, logo
\frac{x_k^2}{S_{k-1}S_k}\ge \frac{x_k^2}{S_k^2}.
Portanto, para cada k,
\frac{x_k^2}{S_k^2}\le \frac{1}{S_{k-1}}-\frac{1}{S_k}.

Passo 4

Somando a desigualdade do Passo 3 para k=1,2,\dots,n obtém-se telescopicamente:
\sum_{k=1}^n \frac{x_k^2}{S_k^2} \le \sum_{k=1}^n\Bigl(\frac{1}{S_{k-1}}-\frac{1}{S_k}\Bigr) = \frac{1}{S_0}-\frac{1}{S_n}=1-\frac{1}{S_n}\le 1.
Portanto concluímos a estimativa-chave
\sum_{k=1}^n \frac{x_k^2}{S_k^2}\le 1.

Passo 5

Agora aplico Cauchy–Schwarz no vetor (1,\dots,1) e no vetor \bigl(\tfrac{x_1}{S_1},\dots,\tfrac{x_n}{S_n}\bigr):
\Bigl(\sum_{k=1}^n \frac{x_k}{S_k}\Bigr)^2 \le \Bigl(\sum_{k=1}^n 1^2\Bigr)\Bigl(\sum_{k=1}^n \frac{x_k^2}{S_k^2}\Bigr) = n\cdot \sum_{k=1}^n \frac{x_k^2}{S_k^2}.
Usando a desigualdade do Passo 4 obtemos
\Bigl(\sum_{k=1}^n \frac{x_k}{S_k}\Bigr)^2 \le n\cdot 1 = n.
Tomando raiz quadrada em ambos os lados (o lado esquerdo é real), segue
\sum_{k=1}^n \frac{x_k}{S_k}\le \sqrt{n}.

Resposta

\displaystyle \frac{x_{1}}{1+x_{1}^{2}}+\frac{x_{2}}{1+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}+\cdots+\frac{x_{n}}{1+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}} \leqslant \sqrt{n}

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