(10%) Questão 14. Mostre que para quaisquer
,
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para quaisquer números reais
,
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
- Cada denominador é positivo, pois é da forma
soma de quadrados. - Não há restrição de sinal para os
: podem ser positivos, negativos ou zeros.
A tarefa é fornecer uma prova passo a passo e didática desta desigualdade.
Passo 2
Estratégia que vou usar (sem resolver ainda): aplicar a desigualdade de Cauchy–Schwarz na forma
escolhendo
e
de modo que
. Uma escolha natural é
ou, mais útil, separar o termo em fatores com quadrados para controlar a soma dos quadrados. Vou construir uma estimativa do tipo
onde
. Portanto basta mostrar que
Nos próximos passos vou provar essa última desigualdade de forma limpa e elementar.
Passo 3
Defino, para todo
,
Observe que
e a sequência
é crescente, isto é,
. Uma identidade simples e útil é
Como
, temos
, logo
Portanto, para cada
,
Passo 4
Somando a desigualdade do Passo 3 para
obtém-se telescopicamente:
Portanto concluímos a estimativa-chave
Passo 5
Agora aplico Cauchy–Schwarz no vetor
e no vetor
:
Usando a desigualdade do Passo 4 obtemos
Tomando raiz quadrada em ambos os lados (o lado esquerdo é real), segue