10^a Questão: Determinar uma equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo, nos pontos indicados:
de f^-1 no ponto P(1,3) sabendo-se que y=f(x) está definida implicitamente por x y^2+y^3=2 x-2 y.

Passo 1

O enunciado pede determinar a reta tangente e a reta normal ao gráfico de f^-1 no ponto P(1,3). Sabemos que y=f(x) é definida implicitamente pela equação
x y^2+y^3=2x-2y
Para resolver, vamos usar diferenciação implícita para achar f'(x) e depois aplicar a fórmula
(f^-1)'(a)=1f'(b),
onde f(b)=a.

Passo 2

Aplicamos diferenciação implícita à equação
x y^2+y^3=2x-2y
Derivando ambos os lados em relação a x,
ddx(x y^2)+ddx(y^3) =ddx(2x)-ddx(2y)
Como
ddx(x y^2)=y^2+2x y,y', ddx(y^3)=3y^2y', ddx(2x)=2, ddx(2y)=2y',
temos
y^2+(2xy+3y^2)y'=2-2y'
Reorganizando em y',
y'(2xy+3y^2+2)=2-y^2,
logo
y'=2-y^22xy+3y^2+2

Passo 3

Para o ponto correspondente de f, temos f(3)=1, pois (3,1) satisfaz a relação original. Avaliando a derivada em (x,y)=(3,1):
f'(3)=y'(3)=2-1^22cdot3cdot1+3cdot1^2+2 =16+3+2=111
Portanto, o coeficiente angular da reta tangente de f^-1 em (1,3) é
(f^-1)'(1)=1f'(3)=11

Passo 4

A reta tangente a f^-1 em (1,3) tem coeficiente angular 11. Em forma ponto-declive:
y-3=11,(x-1)
A reta normal é perpendicular, logo seu coeficiente angular é -tfrac111, e sua equação é
y-3=-111,(x-1)

Resposta

Reta tangente:
y-3=11,(x-1)
Reta normal:
y-3=-111,(x-1)

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