Questão: Determinar uma equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo, nos pontos indicados:
de
no ponto
sabendo-se que
está definida implicitamente por
.
de
Passo 1
O enunciado pede determinar a reta tangente e a reta normal ao gráfico de
no ponto
. Sabemos que
é definida implicitamente pela equação
Para resolver, vamos usar diferenciação implícita para achar
e depois aplicar a fórmula
onde
.
Passo 2
Aplicamos diferenciação implícita à equação
Derivando ambos os lados em relação a
,
Como
temos
Reorganizando em
,
logo
Passo 3
Para o ponto correspondente de
, temos
, pois
satisfaz a relação original. Avaliando a derivada em
:
Portanto, o coeficiente angular da reta tangente de
em
é
Passo 4
A reta tangente a
em
tem coeficiente angular
. Em forma ponto-declive:
A reta normal é perpendicular, logo seu coeficiente angular é
, e sua equação é
Resposta
Reta tangente:
Reta normal: