Questão: Determinar uma equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo, nos pontos indicados:
, nos pontos onde a normal é paralela à reta
;
Passo 1
O enunciado dá a curva implícita
e pede as retas tangente e normal nos pontos onde a normal é paralela à reta
Aqui vamos usar diferenciação implícita para achar a inclinação da tangente, lembrar que a normal tem a mesma direção do gradiente
, e impor a condição de paralelismo de retas.
Passo 2
Definindo
, o gradiente é
Logo a reta normal em
tem coeficiente angular
A reta dada tem coeficiente angular
. Para paralelismo, impomos
Passo 3
Substituindo
na curva
Logo os pontos são
Passo 4
Diferenciando implicitamente
:
Em ambos os pontos
temos
Esse é o coeficiente angular da reta tangente.
Passo 5
No ponto
:
Tangente de coeficiente :
Tangente de coeficiente
Normal de coeficiente
:
Passo 6
No ponto
:
Tangente de coeficiente :
Tangente de coeficiente
Normal de coeficiente
:
Resposta
Para
:
Tangente: .
Normal: .
Tangente:
Normal:
Para
:
Tangente: .
Normal: .
Tangente:
Normal: