10^a Questão: Determinar uma equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo, nos pontos indicados:
6 x^2+13 y^2=19, nos pontos onde a normal é paralela à reta 26 x-12 y-7=0;

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
6x^2 + 13y^2 = 19
e pede as retas tangente e normal nos pontos onde a normal é paralela à reta
26x - 12y - 7 = 0
Aqui vamos usar diferenciação implícita para achar a inclinação da tangente, lembrar que a normal tem a mesma direção do gradiente nabla F, e impor a condição de paralelismo de retas.

Passo 2

Definindo F(x,y)=6x^2+13y^2-19, o gradiente é
nabla F=(partialxF,partialyF)=(12x,26y)
Logo a reta normal em (x,y) tem coeficiente angular
mrm norm =26y12x =13y6x
A reta dada tem coeficiente angular ,m=13/6. Para paralelismo, impomos
13y6x=136 Longrightarrow y=x

Passo 3

Substituindo y=x na curva
6x^2+13x^2=19 Longrightarrow 19x^2=19 Longrightarrow x^2=1
Logo os pontos são
(1,1)e(-1,-1)

Passo 4

Diferenciando implicitamente 6x^2+13y^2=19:
12x+26y,y'=0 Longrightarrow y'=-12x26y=-6x13y
Em ambos os pontos (pm1,pm1) temos
y'=-6cdot(pm1)13cdot(pm1) =-613
Esse é o coeficiente angular da reta tangente.

Passo 5

No ponto (1,1):
Tangente de coeficiente -6/13:
y-1=-613(x-1)
Normal de coeficiente 13/6:
y-1=136(x-1)

Passo 6

No ponto (-1,-1):
Tangente de coeficiente -6/13:
y+1=-613(x+1)
Normal de coeficiente 13/6:
y+1=136(x+1)

Resposta

Para (1,1):
Tangente: y-1=-613(x-1).
Normal: y-1=136(x-1).
Para (-1,-1):
Tangente: y+1=-613(x+1).
Normal: y+1=136(x+1).

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