10^a Questão: Determinar uma equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo, nos pontos indicados:
de f^-1 no ponto P(5,2), sabendo que f(x)=x^3-x^2+1, x>23;

Passo 1

O enunciado pede as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico de f^-1 no ponto P(5,2), onde f(x)=x^3-x^2+1 e x>tfrac23. Vamos usar a fórmula da derivada da função inversa:
(f^-1)'(y)=1f'l(f^-1(y)r)

Passo 2

Para garantir que P(5,2) está no gráfico de f^-1, verificamos que
f(2)=2^3-2^2+1=8-4+1=5
logo f^-1(5)=2, como desejado.

Passo 3

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=3x^2-2x
Em particular,
f'(2)=3cdot 2^2-2cdot2=12-4=8

Passo 4

O coeficiente angular da reta tangente a f^-1 em y=5 é
(f^-1)'(5)=1f'(2)=18
Usando a forma ponto-inclinação, a reta tangente é
y-2=18,(x-5)

Passo 5

A reta normal tem coeficiente angular igual ao negativo do recíproco da tangente:
mnormal=-8
Logo sua equação é
y-2=-8,(x-5)

Resposta

Reta tangente:
y-2=18(x-5)
Reta normal:
y-2=-8,(x-5)

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