(5%) Questão 5. Seja
uma sequência convergente tal que
. Mostre que existem
e
tais que
para todo
.
Passo 1
O enunciado dá uma sequência
que converge e informa que
satisfaz
.
O que se pede: mostrar que existem e
tais que
O que se pede: mostrar que existem
Listei claramente o dado (a existência do limite
) e o objetivo (encontrar
e
com a desigualdade acima).
Passo 2
Vou lembrar a definição de limite de sequência que vou usar: dizer que
significa que, para todo
, existe
tal que
Aqui
é o valor absoluto da diferença entre
e
; a condição significa que a partir de algum índice
todos os termos
ficam dentro do intervalo
.
Passo 3
Como
, posso escolher um
positivo conveniente. Uma escolha simples e comum é
que é positiva porque
. Pela definição de limite, existe então
tal que
Passo 4
Desenvolvendo a desigualdade com valor absoluto obtemos, para
,
Da desigualdade da esquerda segue
Logo, para todo
tem-se
. Como
implica
, basta definir
que satisfaz
e a propriedade desejada:
para todo
.
Passo 5
Resumo da ideia didática: a hipótese
diz que os termos da sequência ficam arbitrariamente próximos de
quando
é grande. Escolhendo uma margem
menor que
(por exemplo
) garantimos que, a partir de algum índice, todos os termos ficam acima de
. Assim a sequência fica uniformemente afastada de zero para índices grandes. Um exemplo concreto: se
então
; tomando
e qualquer
já vale
para todo
.
Resposta
Tomando
, escolhe-se
. Pela definição de limite existe
tal que
para todo
. Assim
para todo
.