(5%) Questão 5. Seja \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R} uma sequência convergente tal que \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}>0. Mostre que existem r>0 e N \in \mathbb{N} tais que a_{n} \geqslant r para todo n \geqslant N.

Passo 1

O enunciado dá uma sequência \left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{R} que converge e informa que
L:=\lim_{n\to\infty} a_{n}
satisfaz \;L>0.
O que se pede: mostrar que existem r>0 e N\in\mathbb{N} tais que
a_{n}\ge r\quad\text{para todo }n\ge N.
Listei claramente o dado (a existência do limite L>0) e o objetivo (encontrar r>0 e N com a desigualdade acima).

Passo 2

Vou lembrar a definição de limite de sequência que vou usar: dizer que \lim_{n\to\infty} a_{n}=L significa que, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que
|a_{n}-L|<\varepsilon\quad\text{para todo }n\ge N.
Aqui |a_{n}-L| é o valor absoluto da diferença entre a_{n} e L; a condição significa que a partir de algum índice N todos os termos a_{n} ficam dentro do intervalo (L-\varepsilon,\,L+\varepsilon).

Passo 3

Como L>0, posso escolher um \varepsilon positivo conveniente. Uma escolha simples e comum é
\varepsilon=\frac{L}{2},
que é positiva porque L>0. Pela definição de limite, existe então N\in\mathbb{N} tal que
|a_{n}-L|<\frac{L}{2}\quad\text{para todo }n\ge N.

Passo 4

Desenvolvendo a desigualdade com valor absoluto obtemos, para n\ge N,
-\frac{L}{2}<a_{n}-L<\frac{L}{2}.
Da desigualdade da esquerda segue
a_{n}>L-\frac{L}{2}=\frac{L}{2}.
Logo, para todo n\ge N tem-se a_{n}>\dfrac{L}{2}. Como a_{n}>\dfrac{L}{2} implica a_{n}\ge\dfrac{L}{2}, basta definir
r:=\frac{L}{2},
que satisfaz r>0 e a propriedade desejada: a_{n}\ge r para todo n\ge N.

Passo 5

Resumo da ideia didática: a hipótese \lim a_{n}=L>0 diz que os termos da sequência ficam arbitrariamente próximos de L quando n é grande. Escolhendo uma margem \varepsilon menor que L (por exemplo L/2) garantimos que, a partir de algum índice, todos os termos ficam acima de L-\varepsilon>0. Assim a sequência fica uniformemente afastada de zero para índices grandes. Um exemplo concreto: se a_{n}=1+\tfrac{1}{n} então L=1; tomando r=\tfrac{1}{2} e qualquer N\ge 1 já vale a_{n}\ge r para todo n\ge N.

Resposta

Tomando L=\lim_{n\to\infty}a_{n}>0, escolhe-se r=\dfrac{L}{2}>0. Pela definição de limite existe N\in\mathbb{N} tal que |a_{n}-L|<\dfrac{L}{2} para todo n\ge N. Assim a_{n}\ge r para todo n\ge N.

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