10 Seja
uma curva duas vezes derivável. Se ela fornece a posição de uma partícula no instante
e se para todo
o módulo da velocidade é constante, conclua que o vetor aceleração da curva é ortogonal ao vetor velocidade para todo
. Lembrando que
é o vetor velocidade e
o vetor aceleração.
Passo 1
O enunciado dá uma curva duas vezes derivável
. Diz que
é o vetor velocidade e
o vetor aceleração. A hipótese é: para todo
o módulo da velocidade é constante. A pergunta é: mostrar que o vetor aceleração é ortogonal ao vetor velocidade para todo
.
Informações relevantes: a velocidade tem módulo constante, ou seja existe uma constante tal que
para todo
. A curva é duas vezes derivável, então podemos derivar
e podemos derivar funções escalares construídas a partir de
.
Informações relevantes: a velocidade tem módulo constante, ou seja existe uma constante
Passo 2
Primeiro, traduzo “módulo da velocidade constante” em uma expressão matemática mais manejável. O módulo da velocidade é a norma euclidiana de
, que escrevemos
. A norma ao quadrado é dada pelo produto interno:
Explicação curta sobre isso: se
então
, que é exatamente
. Trabalhar com o quadrado da norma é conveniente porque é uma função suave (diferenciável) das componentes.
Passo 3
Como
é constante, existe
tal que para todo
Elevando ao quadrado obtemos também uma constante:
Agora vamos derivar essa igualdade em relação a
. Isso é permitido porque
é derivável e a composição com o produto interno produz uma função diferenciável escalar.
Passo 4
Derivando ambos os lados da igualdade
em relação a
, o lado direito tem derivada zero (porque
é constante). No lado esquerdo aplicamos a regra do produto (produto interno) e a linearidade da derivada:
Aqui usei que
. Como os termos são iguais, isto é
Passo 5
Igualando ao zero (derivada do lado direito) obtemos
Dividindo por
vem
para todo
.
Passo 6
Conclusão e interpretação geométrica: o produto interno (dot product) entre
e
é zero para todo
. Pela definição de ortogonalidade na geometria euclidiana, dois vetores são ortogonais se, e só se, seu produto interno é zero. (Observação: o caso degenerado
também satisfaz a igualdade e, por convenção do produto interno, o vetor zero é ortogonal a todos os vetores.)