Como vimos, o vetor tangente é dado pela derivada da curva \gamma^{\prime}\left(t_{0}\right)=\left(x^{\prime}\left(t_{0}\right), y^{\prime}\left(t_{0}\right)\right). Assim, o vetor normal a \gamma no ponto t_{0} é dado por \left(-y^{\prime}\left(t_{0}\right), x^{\prime}\left(t_{0}\right)\right). Sabendo disso, determine se as curvas dadas têm reta normal no ponto \gamma\left(t_{0}\right) para t_{0} dado abaixo. Se sim, determine-as:
\gamma(t)=\left(e^{t}, e^{2 t}\right), t_{0}=0

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica \gamma(t)=\big(e^{t},e^{2t}\big) e pede: para t_{0}=0, determinar se existe reta normal à curva em \gamma(t_{0}) e, se existir, encontrá‑la. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • o ponto onde queremos a normal é \gamma(0);
  • a definição usada para o vetor tangente é \gamma'(t_{0})=\big(x'(t_{0}),y'(t_{0})\big);
  • o vetor normal sugerido é \big(-y'(t_{0}),x'(t_{0})\big).
Nada mais será resolvido neste passo — só esclarecemos o que é pedido e os dados.

Passo 2

Vamos calcular a derivada da curva (o vetor tangente). Lembra: a derivada de e^{t} é e^{t} e, pela regra da cadeia, a derivada de e^{2t} é 2e^{2t}. Portanto,
\gamma'(t)=\big(e^{t},\,2e^{2t}\big).
Avalia em t_{0}=0:
\gamma'(0)=\big(e^{0},\,2e^{0}\big)=\big(1,\,2\big).
Para existir reta normal precisamos que o vetor tangente não seja o vetor nulo em t_{0}. Como \gamma'(0)=\big(1,2\big)\neq\big(0,0\big), a reta normal existe.
Também é útil verificar por que o vetor \big(-y'(t_{0}),x'(t_{0})\big) é normal: o produto escalar entre o tangente \big(x',y'\big) e esse vetor é
x'\cdot(-y')+y'\cdot x' = -x'y' + x'y' = 0,
logo são ortogonais. Aplicando isso em t_{0}=0 obtemos o vetor normal
n=\big(-y'(0),\,x'(0)\big)=\big(-2,\,1\big).

Passo 3

Agora construímos a equação da reta normal passando pelo ponto \gamma(0) com direção dada por n.
O ponto é
\gamma(0)=\big(e^{0},\,e^{0}\big)=\big(1,\,1\big).
Forma paramétrica da reta com parâmetro s: ponto inicial mais s vezes o vetor direção,
\ell(s)=\big(1,\,1\big)+s\big(-2,\,1\big)=\big(1-2s,\;1+s\big).
Isto já é a reta normal em forma paramétrica.
Para obter a forma cartesiana (equação explícita), podemos eliminar s. Da paramétrica temos x=1-2s e y=1+s. Da segunda equação s=y-1. Substituindo em x:
x=1-2(y-1)=1-2y+2=3-2y.
Rearranjando para obter forma padrão:
x+2y-3=0.
Também podemos escrever a forma ponto‑inclinação:
y-1=-\tfrac{1}{2}(x-1).

Resposta

Forma paramétrica: \ell(s)=\big(1-2s,\;1+s\big),\; s\in\mathbb{R}
Forma cartesiana: x+2y-3=0

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