Como vimos, o vetor tangente é dado pela derivada da curva
. Assim, o vetor normal a
no ponto
é dado por
. Sabendo disso, determine se as curvas dadas têm reta normal no ponto
para
dado abaixo. Se sim, determine-as:
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
e pede: para
, determinar se existe reta normal à curva em
e, se existir, encontrá‑la. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- o ponto onde queremos a normal é
; - a definição usada para o vetor tangente é
; - o vetor normal sugerido é
.
Nada mais será resolvido neste passo — só esclarecemos o que é pedido e os dados.
Passo 2
Vamos calcular a derivada da curva (o vetor tangente). Lembra: a derivada de
é
e, pela regra da cadeia, a derivada de
é
. Portanto,
Avalia em
:
Para existir reta normal precisamos que o vetor tangente não seja o vetor nulo em
. Como
, a reta normal existe.
Também é útil verificar por que o vetor
é normal: o produto escalar entre o tangente
e esse vetor é
logo são ortogonais. Aplicando isso em
obtemos o vetor normal
Passo 3
Agora construímos a equação da reta normal passando pelo ponto
com direção dada por
.
O ponto é
Forma paramétrica da reta com parâmetro
: ponto inicial mais
vezes o vetor direção,
Isto já é a reta normal em forma paramétrica.
Para obter a forma cartesiana (equação explícita), podemos eliminar
. Da paramétrica temos
e
. Da segunda equação
. Substituindo em
:
Rearranjando para obter forma padrão:
Também podemos escrever a forma ponto‑inclinação:
Resposta
Forma paramétrica:
Forma cartesiana:
Forma cartesiana: