Como vimos, o vetor tangente é dado pela derivada da curva \gamma^{\prime}\left(t_{0}\right)=\left(x^{\prime}\left(t_{0}\right), y^{\prime}\left(t_{0}\right)\right). Assim, o vetor normal a \gamma no ponto t_{0} é dado por \left(-y^{\prime}\left(t_{0}\right), x^{\prime}\left(t_{0}\right)\right). Sabendo disso, determine se as curvas dadas têm reta normal no ponto \gamma\left(t_{0}\right) para t_{0} dado abaixo. Se sim, determine-as: \gamma(t)=\left(t^{2}, t^{4}\right), t_{0}=0
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica \gamma(t)=\left(t^{2},t^{4}\right) e pede para verificar se existe reta normal em \gamma(t_{0}) para t_{0}=0. As informações relevantes fornecidas pelo enunciado são:
A curva: \gamma(t)=\big(x(t),y(t)\big) com x(t)=t^{2} e y(t)=t^{4}.
O ponto considerado é \gamma(0).
A definição que nos foi dada: o vetor tangente em t_{0} é \gamma'(t_{0})=\big(x'(t_{0}),y'(t_{0})\big) e o vetor normal (um vetor perpendicular ao tangente) é \big(-y'(t_{0}),x'(t_{0})\big).
O que se pede: decidir se existe uma reta normal em \gamma(0) e, se existir, determiná‑la.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas das componentes da parametrização (isto é, o vetor tangente \gamma'(t)). Explico como: para uma curva parametrizada por \gamma(t)=(x(t),y(t)), a derivada componente a componente é dada por \gamma'(t)=(x'(t),y'(t)), onde x'(t) é a derivada de x em relação a t e y'(t) é a derivada de y em relação a t. Aqui:
x(t)=t^{2}\quad\Rightarrow\quad x'(t)=2t,
y(t)=t^{4}\quad\Rightarrow\quad y'(t)=4t^{3}.
Mostrei passo a passo: derive t^{2} usando a regra do poder (\frac{d}{dt}t^{n}=nt^{n-1}) e derive t^{4} da mesma forma.
Passo 3
Avalio o vetor tangente em t_{0}=0. Substituindo t=0 nas derivadas obtidas:
Interpretação didática: \gamma'(0)=(0,0) significa que, com esta parametrização, o vetor tangente fornecido pela derivada é o vetor nulo. Para definir um vetor direção (tangente) não podemos usar o vetor nulo — ele não tem direção — então a definição direta do enunciado para obter vetor normal \big(-y'(0),x'(0)\big) também dá o vetor nulo:
\big(-y'(0),x'(0)\big)=(-0,0)=(0,0).
Portanto, segundo a definição imediata dada (usar \gamma'(t_{0}) e (-y'(t_{0}),x'(t_{0}))), não há vetor normal não nulo e, com essa fórmula direta, não se obtém uma reta normal bem definida em t_{0}=0.
Passo 4
Apesar disso, é útil verificar a situação geométrica da curva como conjunto no plano — às vezes a parametrização é singular (derivada nula) mas a curva, como gráfico, possui tangente. Uma forma prática é eliminar o parâmetro e ver a curva em coordenadas x,y. Eliminando t temos:
x=t^{2}\quad\Rightarrow\quad t=\pm\sqrt{x}.
Substituindo em y=t^{4} obtém-se
y=(t^{2})^{2}=x^{2}.
Logo a curva é o gráfico da função y=x^{2} (parábola). Agora, para encontrar a reta tangente à parábola em (0,0) usamos a derivada da função y=f(x)=x^{2}:
f'(x)=2x\quad\Rightarrow\quad f'(0)=0.
Isto significa que o coeficiente angular da reta tangente em (0,0) é 0, ou seja, a reta tangente é a reta horizontal
y=0.
Didaticamente: quando a tangente é horizontal (coeficiente angular 0), a normal é a reta perpendicular a ela passando pelo mesmo ponto, isto é, uma reta vertical. A reta perpendicular a y=0 é x=\text{constante}; como o ponto é (0,0), a normal é
x=0.
Também podemos verificar isso através do limite de declives das cordas: a inclinação do segmento que liga (0,0) a (t^{2},t^{4}) é
confirmando que as cordas têm inclinação que tende a 0, portanto a tangente é horizontal.
Passo 5
Reconciliando as duas perspectivas:
Pelo procedimento direto indicado no enunciado (usar \gamma'(t_{0}) e (-y'(t_{0}),x'(t_{0}))) não se obtém uma reta normal em t_{0}=0 porque \gamma'(0)=(0,0) (parametrização singular).
Geometricamente, a curva como conjunto é y=x^{2}, que tem tangente y=0 em (0,0); portanto existe uma reta normal geométrica e ela é x=0.
Resposta
Pelo cálculo direto com \gamma'(0): não existe reta normal definida pela fórmula \big(-y'(0),x'(0)\big), pois \gamma'(0)=(0,0).\nGeometricamente (eliminando o parâmetro, \;y=x^{2}\;): a reta tangente em (0,0) é y=0 e a reta normal correspondente é x=0.