10 Se o sétimo harmônico é excitado em uma corda, (a) quantos nós estăo presentes e (b) no ponto médio existe um nó, um antinó ou um estado intermediário? Se, em seguida, é excitado o sexto harmônico, (c) o comprimento de onda da ressonância é maior ou menor que o do sétimo harmônico e (d) a frequência de ressonância é maior ou menor?

Passo 1

O enunciado trata de ondas estacionárias numa corda de comprimento L com as duas extremidades fixas. Quando excitamos o n-ésimo harmônico, sabemos que:
  1. Sempre há um nó em cada extremidade;
  2. O padrão de n meios comprimentos de onda cabe em L, ou seja,
L = n\,\frac{\lambda_n}{2}\;.
Vamos usar essas ideias para (a) contar o número de nós, (b) ver o que ocorre em x=L/2, e depois comparar (c) comprimentos de onda e (d) frequências dos harmônicos 6 e 7.

Passo 2

Em geral, o n-ésimo harmônico tem nós em x=0, em x=L e em n-1 posições internas igualmente espaçadas, totalizando
\underbrace{1}_{x=0} + \underbrace{(n-1)}_{\text{internos}} + \underbrace{1}_{x=L} = n+1
nós. Para n=7 temos 7+1=8 nós.

Passo 3

A forma de oscilação é proporcional a \sin\bigl(n\pi x/L\bigr). No ponto médio x=L/2, para n=7:
\sin\!\Bigl(7\,\frac{\pi}{2}\Bigr) =\sin\!\bigl(3\pi+\tfrac{\pi}{2}\bigr) =-\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) =-1
O módulo vale 1, logo x=L/2 é um ventre (antinó).

Passo 4

O comprimento de onda do n-ésimo harmônico é
\lambda_n = \frac{2L}{n}\;.
Comparando \lambda_6 = 2L/6 = L/3 e \lambda_7 = 2L/7, vemos que
\lambda_6 = \frac{L}{3} > \frac{2L}{7} = \lambda_7\;.

Passo 5

A frequência de ressonância satisfaz
f_n = \frac{n\,v}{2L}\qquad(v=\text{velocidade de onda na corda})\;.
Como 6<7, segue que
f_6 < f_7\;.

Resposta

(a) 8 nós.
(b) No ponto médio existe um ventre (antinó).
(c) O comprimento de onda do sexto harmônico é maior que o do sétimo.
(d) A frequência de ressonância do sexto harmônico é menor que a do sétimo.

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