Em um dado momento (medido pelo seu relógio), você mede que uma partícula A se localiza na posiçāo x_{A} e a partícula B na posição x_{B}>x_{A}, ambas posições medidas no referencial do laboratório. A partícula A tem velocidade de módulo v_{A} para direita e a partícula B tem velocidade de módulo v_{B} para a esquerda.
(a) Qual a velocidade da partícula B no referencial da partícula A ?
(b) Para simplificar, denote por t^{\mathrm{refA}}=t^{\mathrm{lab}}=0 o momento em que a partícula A está localizada na posição x_{A}=0 no referencial do laboratório. Quando a partícula A estiver na posição x_{A} no referencial do laboratório, qual será o valor de t^{\text {lab }}, t^{\text {refA }} e x^{\text {refA }} ? Comente os resultados encontrados para t^{\text {refA }} e x^{\text {refA }}.
(c) No referencial da partícula A, quando ela se encontra na posiçāo x_{A} (medida por você), qual a posição da partícula B ? Comente sobre o resultado
(d) No referencial da partícula A , em que momento ela colide com a partícula B ? Se v_{A} \ll c e v_{B} \ll c, que resultado você obtém?
Passo 1
O enunciado fala de duas partículas A e B medidas no referencial de um laboratório. Num certo instante (que chamamos de t^{\mathrm{lab}}=0) A está em x_{A}=0 movendo-se para a direita com velocidade v_{A} e B está em x_{B}>0 movendo-se para a esquerda com velocidade v_{B}. Precisamos usar:
A fórmula de adição relativística de velocidades.
As transformações de Lorentz entre o referencial do laboratório e o referencial instantâneo de A.
Passo 2
(a) No laboratório a velocidade de B é \;u_{B}=-v_{B}. A velocidade de B no referencial de A é dada por
(b) Definimos o evento “A em x_{A} no laboratório” como tendo coordenadas \bigl(t^{\mathrm{lab}},\,x^{\mathrm{lab}}\bigr)=\bigl(\tfrac{x_{A}}{v_{A}},\,x_{A}\bigr).
Pelas transformações de Lorentz para o referencial de A (velocidade de translação v_{A} para a direita):
Comentário: no referencial de A, o tempo próprio até A chegar em x_{A} é t'=x_{A}/(v_{A}\gamma_{A}), menor que o tempo de laboratório x_{A}/v_{A}. Já a posição de A em seu próprio referencial é sempre zero.
Passo 4
(c) No mesmo instante t^{\mathrm{lab}}=x_{A}/v_{A}, a partícula B está em \;x_{B}^{\mathrm{lab}}=x_{B}-v_{B}\,\tfrac{x_{A}}{v_{A}}.
Transformando para o referencial A:
Comentário: o valor de x'_{B} não coincide com a diferença x_{B}-x_{A} e depende de \gamma_{A}. Esta é a manifestação da relatividade da simultaneidade e da contração de distâncias.
Passo 5
(d) No laboratório, a colisão ocorre quando as duas partículas se encontram, ou seja