Em um dado momento (medido pelo seu relógio), você mede que uma partícula A se localiza na posiçāo x_{A} e a partícula B na posição x_{B}>x_{A}, ambas posições medidas no referencial do laboratório. A partícula A tem velocidade de módulo v_{A} para direita e a partícula B tem velocidade de módulo v_{B} para a esquerda.
(a) Qual a velocidade da partícula B no referencial da partícula A ?
(b) Para simplificar, denote por t^{\mathrm{refA}}=t^{\mathrm{lab}}=0 o momento em que a partícula A está localizada na posição x_{A}=0 no referencial do laboratório. Quando a partícula A estiver na posição x_{A} no referencial do laboratório, qual será o valor de t^{\text {lab }}, t^{\text {refA }} e x^{\text {refA }} ? Comente os resultados encontrados para t^{\text {refA }} e x^{\text {refA }}.
(c) No referencial da partícula A, quando ela se encontra na posiçāo x_{A} (medida por você), qual a posição da partícula B ? Comente sobre o resultado
(d) No referencial da partícula A , em que momento ela colide com a partícula B ? Se v_{A} \ll c e v_{B} \ll c, que resultado você obtém?

Passo 1

O enunciado fala de duas partículas A e B medidas no referencial de um laboratório. Num certo instante (que chamamos de t^{\mathrm{lab}}=0) A está em x_{A}=0 movendo-se para a direita com velocidade v_{A} e B está em x_{B}>0 movendo-se para a esquerda com velocidade v_{B}. Precisamos usar:
  1. A fórmula de adição relativística de velocidades.
  2. As transformações de Lorentz entre o referencial do laboratório e o referencial instantâneo de A.

Passo 2

(a) No laboratório a velocidade de B é \;u_{B}=-v_{B}. A velocidade de B no referencial de A é dada por
u' \;=\;\frac{u_{B}-v_{A}}{1-\dfrac{u_{B}\,v_{A}}{c^{2}}} \;=\; \frac{-\,v_{B}-v_{A}}{1+\dfrac{v_{A}\,v_{B}}{c^{2}}} \;=\; -\;\frac{v_{A}+v_{B}}{1+\dfrac{v_{A}\,v_{B}}{c^{2}}}\,.
O sinal negativo indica que, no referencial de A, B se aproxima pela esquerda com módulo
\bigl|u'\bigr| =\frac{v_{A}+v_{B}}{1+\dfrac{v_{A}\,v_{B}}{c^{2}}}\,.

Passo 3

(b) Definimos o evento “A em x_{A} no laboratório” como tendo coordenadas \bigl(t^{\mathrm{lab}},\,x^{\mathrm{lab}}\bigr)=\bigl(\tfrac{x_{A}}{v_{A}},\,x_{A}\bigr).
Pelas transformações de Lorentz para o referencial de A (velocidade de translação v_{A} para a direita):
t' \;=\;\gamma_{A}\Bigl(t^{\mathrm{lab}}-\frac{v_{A}\,x^{\mathrm{lab}}}{c^{2}}\Bigr), \quad x' \;=\;\gamma_{A}\bigl(x^{\mathrm{lab}}-v_{A}\,t^{\mathrm{lab}}\bigr),
onde \gamma_{A}=1/\sqrt{1-v_{A}^{2}/c^{2}}. Substituindo t^{\mathrm{lab}}=x_{A}/v_{A} e x^{\mathrm{lab}}=x_{A}, obtemos
t' =\gamma_{A}\Bigl(\frac{x_{A}}{v_{A}}-\frac{v_{A}\,x_{A}}{c^{2}}\Bigr) =\frac{x_{A}}{v_{A}}\;\gamma_{A}\Bigl(1-\frac{v_{A}^{2}}{c^{2}}\Bigr) =\frac{x_{A}}{v_{A}\,\gamma_{A}}, \qquad x'=0.
Comentário: no referencial de A, o tempo próprio até A chegar em x_{A} é t'=x_{A}/(v_{A}\gamma_{A}), menor que o tempo de laboratório x_{A}/v_{A}. Já a posição de A em seu próprio referencial é sempre zero.

Passo 4

(c) No mesmo instante t^{\mathrm{lab}}=x_{A}/v_{A}, a partícula B está em \;x_{B}^{\mathrm{lab}}=x_{B}-v_{B}\,\tfrac{x_{A}}{v_{A}}.
Transformando para o referencial A:
x'_{B} =\gamma_{A}\Bigl(x_{B}-v_{B}\,\frac{x_{A}}{v_{A}} - v_{A}\,\frac{x_{A}}{v_{A}}\Bigr) =\gamma_{A}\Bigl(x_{B}-x_{A}\bigl(1+\tfrac{v_{B}}{v_{A}}\bigr)\Bigr).
Comentário: o valor de x'_{B} não coincide com a diferença x_{B}-x_{A} e depende de \gamma_{A}. Esta é a manifestação da relatividade da simultaneidade e da contração de distâncias.

Passo 5

(d) No laboratório, a colisão ocorre quando as duas partículas se encontram, ou seja
t^{\mathrm{lab}}_{\rm col} =\frac{x_{B}-0}{v_{A}+v_{B}}.
A coordenada do evento de colisão é x^{\mathrm{lab}}_{\rm col}=v_{A}\,t^{\mathrm{lab}}_{\rm col}.
No referencial de A, o tempo próprio até a colisão é
t'_{\rm col} =\gamma_{A}\Bigl(t^{\mathrm{lab}}_{\rm col} -\frac{v_{A}\,x^{\mathrm{lab}}_{\rm col}}{c^{2}}\Bigr) =\gamma_{A}\Bigl(\frac{x_{B}}{v_{A}+v_{B}} -\frac{v_{A}^{2}}{c^{2}}\frac{x_{B}}{v_{A}+v_{B}}\Bigr) =\frac{x_{B}}{v_{A}+v_{B}}\;\frac{1}{\gamma_{A}}.
Para v_{A}\ll c e v_{B}\ll c, tem \gamma_{A}\approx1 e
t^{\mathrm{lab}}_{\rm col}\approx t'_{\rm col}\approx\frac{x_{B}}{v_{A}+v_{B}},
recuperando o resultado clássico.

Resposta

(a) \;u'=-\dfrac{v_{A}+v_{B}}{1+v_{A}v_{B}/c^{2}}.
(b) \;t^{\mathrm{lab}}=x_{A}/v_{A},\;t'=x_{A}/(v_{A}\gamma_{A}),\;x'=0.
(c) \;x'_{B}=\gamma_{A}\bigl(x_{B}-x_{A}(1+v_{B}/v_{A})\bigr).
(d) \;t^{\mathrm{lab}}_{\rm col}=(x_{B}-x_{A})/(v_{A}+v_{B}),\;t'_{\rm col}=(x_{B}-x_{A})/((v_{A}+v_{B})\,\gamma_{A})\approx(x_{B}-x_{A})/(v_{A}+v_{B}).

Exercícios relacionados